¿$\exists x$ Se distribuye en conjunción cuando una de las oraciones es una invariancia?

Question

Sé $\exists x(P(x) \land Q(x))$ no es lo mismo que $\exists x P(x) \land \exists x Q(x)$. Esto es porque la primera frase significa que el mismo objeto de P(x) y Q(x) verdadero, y la segunda frase permite diferentes elementos para hacer que el P(x) y Q(x) verdadero.

Pero si Q significa, por ejemplo, "la pizza es frío", es $\exists x P(x) \land \exists x Q$ equivalente a $\exists x(P(x) \land Q)$, ya que la variable vinculada $x$ es irrelevante para "la pizza es frío"?

Creo que la pregunta importe si o no "existe algún x tal que la pizza es frío" es una sentencia definitiva en la lógica.

Answer 1

Sí, si $x$ no se producen libremente en la proposición $Q$, luego de estas declaraciones son equivalentes.$$\exists x~(P(x)\land Q)\iff(\exists x~P(x))\land(\exists x~Q)$$

Si hay algo de $x$ tal que $P(x)\land Q$, entonces hay algunas $x$ tal que $P(x)$ y hay algunos $x$ tal que $Q$.

Si hay algo de $x$ tal que $P(x)$ y algunos $x$ tal que $Q$ a continuación, debido a que $Q$ es invariante con respecto a la identidad del plazo $x$, hay algunos $x$ donde $P(x)\land Q$.

(Normalmente, usted no puede garantizar que las dos existentials podría aplicar a un valor idéntico para el término. Aquí la invariancia asegura que puede.)

Answer 2

Sí, son equivalentes. En realidad, hay dos equivalencias a partir de la cual se puede establecer la equivalencia que usted está buscando. Donde $Q$ es una fórmula que no contenga $x$ como una variable libre, tenemos:

Prenex Ley

$\exists x (P(x) \land Q) \Leftrightarrow \exists x \ P(x) \land Q$

Null Cuantificación

$\exists x \ Q \Leftrightarrow Q$

Por lo tanto:

$\exists x (P(x) \land Q) \Leftrightarrow \exists x \ P(x) \land Q \Leftrightarrow \exists x \ P(x) \land \exists x \ Q$