Demuestre que$\lfloor a\rfloor + \lfloor a+0.5\rfloor =\lfloor 2a\rfloor $ para cada número real$a$.

Question

Demuestre que: $$\lfloor a\rfloor + \lfloor a+0.5\rfloor =\lfloor 2a\rfloor $$ for every real number $ a $

Sé que puedes decir que $a=\lfloor a\rfloor+\phi$ con $0\leq \phi<1$ . Por favor ayuda.

Answer 1

Escribir $a= k+\phi$ donde $0\leq \phi<1$ e $k=[a]$. Ahora consideremos dos casos.

• Si $\phi <1/2$ entonces $$\lfloor a\rfloor + \lfloor a+0.5\rfloor = k+\lfloor k+\phi+0.5\rfloor = 2k+\lfloor\phi+0.5\rfloor=2k =2\lfloor a\rfloor$$
• $\phi \geq 1/2$ entonces $$\lfloor a\rfloor + \lfloor a+0.5\rfloor = k+\lfloor k+\phi+0.5\rfloor = 2k+\lfloor\phi+0.5\rfloor=2k +1$$ por otro lado tenemos también $$\lfloor 2a\rfloor=\lfloor 2k+2\phi\rfloor =2k+\lfloor2\phi\rfloor =2k+1$$ donde $\lfloor2\phi\rfloor=1$

y hemos terminado.