Lie Bracket of Pushforwards

Question

Supongamos $f(x,y)=(f_1,f_2,...,f_n)(x,y):\mathbb R^2\to\mathbb R^n$ es un buen parametrización de una superficie lisa $S$ en $\mathbb R^n$. El pushforwards $\mathrm{d}f\frac{\partial}{\partial x}$ e $\mathrm{d}f\frac{\partial}{\partial y}$ son campos vectoriales en $\mathbb R^n$ tangente a $S$, por lo que su Mentira soporte de $X=\left[\mathrm{d}f\frac{\partial}{\partial x},\mathrm{d}f\frac{\partial}{\partial y}\right]$ es demasiado. Por lo tanto, $X$ debe admitir una representación en coordenadas locales, como el pushforward de algunos $\left(\alpha\frac{\partial}{\partial x}+\beta\frac{\partial}{\partial y}\right)\in\mathfrak{X}(\mathbb{R}^2)$ para algunos $\alpha,\beta:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$.

Es mi razonamiento anterior correcta? Si es así, ¿cómo podemos encontrar a $\alpha$ e $\beta$? Si no, ¿qué podemos decir acerca de la $X$? Un ejemplo sería extremadamente útil.

He visto la fórmula $[Y,Z]=\left(Y^i\frac{\partial Z^j}{\partial x^i}-Z^i\frac{\partial Y^j}{\partial x^i}\right)\frac{\partial}{\partial x^j}$, y yo creo que esto es lo que necesito, pero no veo cómo se aplica en este caso. También he visto a $\mathrm{d}f\left[\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y}\right]=\left[\mathrm{d}f\frac{\partial}{\partial x},\mathrm{d}f\frac{\partial}{\partial y}\right]$ cuando $f$ es un local diffeomorphism, pero que no parece ser el caso aquí.

Gracias!

P. S. esto no es la tarea. Estoy trabajando a través de Lee Introducción para Suavizar los Colectores y no puedo encontrar ejemplos donde $S$ no es simplemente $\mathbb{R}^n$ a contestar a mi pregunta.

Answer 1

En general, uno no puede definir de manera coherente el pushforward de un campo vectorial suave por una función suave. (Lee el libro explica por qué este es el caso.)

Por otro lado, si $f : M \to N$ es un buen bijection, entonces uno puede impulsar $X \in \mathcal{X}(M)$ un buen campo de vectores $df \cdot X \in \mathcal{X}(N)$ definido, empujando hacia adelante en cada punto, es decir, para establecer $$(df \cdot X)_{f(p)} = df_p \cdot X_p$$ for all $p \in M$. In particular, for a smooth parameterization $f : \Bbb R^2 \a \Bbb R^n$, $n \geq 3$, a vector field $X$ on $\Bbb R^2$ determines a vector field on the surface $f(\Bbb R^2)$ but not on all of $\Bbb R^n$. (After all, how would you define the pushforward of $$ X en un punto no en la superficie?)

Por otro lado, la Mentira de soporte es compatible con pushforwards en el sentido de que si $f : M \to N$ es un buen mapa, $X$ es $f$-relativa a la $X'$, e $Y$ es $f$-relativa a la $Y'$, luego $$df_p \cdot [X, Y]_p = [X', Y']_{f(p)}$$ para todos los $p \in M$. En particular, si $M = \Bbb R^m$ e $X, Y$ son coordinar campos vectoriales, $[X, Y] = 0$ e lo $$[X', Y']_{f(p)} = df_p \cdot 0_p = 0_{f(p)} .$$