El dígito en la posición $n$ del número $x$ en base $m$

Question

Como solución a esta pregunta podemos definir una función $f_b(x, n)$ que encuentra el dígito en el $n$ th posición de $x$ en base $b$ .

$$ f_b(x, n) = \left\lfloor \frac{x}{b^n} \right\rfloor \bmod b $$

Funciona incluso con decimales, por ejemplo:

e = 2 . 7  1  8  2  8  1  8  **2**  8 ...
    0  -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 **\-8** -9 th position

$$ f_{10}(e, -8) = 2 \quad \checkmark $$

Sin embargo, cuando se utiliza una base no entera, todos los dígitos son fraccionarios.

$$ f_\pi(e, [0,-1,-2,\dots]) = [2, 1.717, 0.867, 2.319, \dots] $$

Como referencia, Wolfram Alpha afirma que $e$ en base $\pi$ es en realidad 2.2021201002111...

Además, para bases negativas, todos los dígitos de $f$ son negativos. Wolfram Alpha afirma que $e$ en base $-10$ es 3.3223222325590...

Además, la función también se estropea si $x_b$ es negativo. Así que también estoy buscando una función que tenga una forma de diferenciar números positivos y negativos (especialmente importante en bases negativas, ya que por ejemplo, 21 en decimal sería -39 en negadecimal).

Mi pregunta es si existe alguna función que haga esto pero que además sea válida incluso para bases no enteras y negativas. Estoy seguro de que la habría, pero no sé qué hay que modificar para que esto suceda. En otras palabras, ¿existe una función tal que

$$ f_b\left(\sum_{k=-\infty}^\infty a_k b^k, n \right) = a_n \qquad b\in\mathbb{R} $$

?

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Desde entonces he encontrado un método recursivo para los números no enteros pero no bases negativas :

Empiece por calcular $A=\lfloor\log_b n\rfloor$ entonces

$$ U_1 = f_b(n, A) = \left\lfloor\frac{n}{b^A}\right\rfloor $$ $$ U_2 = f_b(n, A-1) = \left\lfloor\frac{n-U_1b^A}{b^{A-1}}\right\rfloor $$ $$ U_3 = f_b(n, A-2) = \left\lfloor\frac{n-U_1b^A-U_2b^{A-1}}{b^{A-2}}\right\rfloor $$

etc. El simple problema con éste es que cuando trata con una base negativa, devuelve dígitos negativos.

Answer 1

Sugerencia: para empezar, intente extraer $a$ , $b$ , $c$ de $ \ a \pi^2 + b\pi +c \ $ o, de forma más general, los dígitos de $$ a_1/\pi + a_2/\pi^2 + a_3/\pi^3 + a_4/\pi^4 + a_5/\pi^5 + \cdots $$ La función mod tradicional no es suficiente, porque $$ a\pi^2 + b\pi +c \pmod {\pi} = a \pi^2 +c \neq c $$ desde $a\pi^2$ no es un múltiplo (¡entero!) de $\pi$ .

Edición: En lugar de $\!\bmod{\!\! }$ la función $\bmod{\!\! _b}$ que produce $$ \bmod_b \,\! : \ (A_k b^k + \cdots + A_2 b^2 + A_1 b + A_0) \mapsto A_0 $$ para cualquier número entero no negativo $A_j \leq |b|$ parece funcionar. Pero no tengo ninguna fórmula definitiva por ahora. $% \mod\!\!\!_b: \ (A_k b^k + \cdots + A_2 b^2 + A_1 b + A_0) \mapsto A_0 $