¿Los automorfismos de los campos de cociente conservan el anillo subyacente?

Question

Supongamos que $R$ es un dominio integral. Sea $\gamma: \mathrm{Frac}(R) \rightarrow \mathrm{Frac}(R)$ un automorphism del campo del cociente. ¿Es cierto que $\gamma(R) = R?$ ? No creo que esto sea cierto en general, pero no puedo pensar en ningún ejemplo. ¿Hay ejemplos para los cuales esto no es cierto?

Answer 1

No, un campo de automorfismo $\gamma: \text{Frac}(R)\to\text{Frac}(R)$ no necesita asignar $R$ a $R$ . Tome $R = \mathbb{Q}[x]$ y $\gamma: \mathbb{Q}(x) \to \mathbb{Q}(x)$ definido conservando $\mathbb{Q}$ y por $\gamma(x) = 1/x$ .