¿Cómo puedo probar que$\int\limits_{0^+}^{+\infty} \left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2 = \frac{\pi}{2}$

Question

Estaba leyendo un libro de texto que plantearon estas dos ecuaciones. El segundo fue el resultado del primero. ¿Cómo podemos decir eso?

Si lo sabemos: $$\int_{0^+}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x} = \frac{\pi}{2}$ $

¿Cómo podemos probar: $$\int_{0^+}^{+\infty} \left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2 = \frac{\pi}{2}$ $

Answer 1

Use $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} = \frac{\pi}{2}$ y $\sin (2x)= 2 \sin(x) \cos(x)$ para obtener

PS

Luego use la integración por partes en $$ (*) \quad\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x) \cos (x)}{x} =\frac{\pi}{4}.$ para derivar

PS

Answer 2

PS