Lo siento por la remediación de las matemáticas, pero:
Alguien me puede decir cómo conseguir una forma cerrada para
$$\sum_{k=1}^n k^x$$
Para $x = 1$, es simplemente el clásico $n(n+1)/2$. ¿Qué es $x > 1$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La fórmula general es bastante complicado:
$$\sum_{k=1}^n{k^x} = {1\over x+1}\sum_{k=0}^x{{x+1\choose k}B_k n^{x+1-k}}$$
Donde $B_k$ son los números de Bernoulli, descubierto alrededor de la misma época, pero de forma independiente, por Johann Bernoulli y Seki Takakazu.
Esto es comúnmente llamado "Faulhaber la fórmula", sino que es una atribución errónea. Donald Knuth papel "Johann Faulhaber y las sumas de las potencias", explica la historia en detalle, incluyendo lo que Faulhaber hizo y no lo sabía. En particular, él no sabía que el general de la fórmula anterior, a pesar de que él hizo el trabajo en muchos casos especiales.
Los primeros casos especiales son:
$$\begin{array}{rl} \sum_{k=1}^n 1 & = n \\ \sum_{k=1}^n k & = \frac12{(n^2+n)} \\ \sum_{k=1}^n k^2 & = \frac16{(2n^3+3n^2+n)} \\ \sum_{k=1}^n k^3 & = \frac14{(n^4+2n^3+n^2)} \\ \sum_{k=1}^n k^4 & = \frac1{30}{(6n^5+15n^4+10n^3-n)} \\ \sum_{k=1}^n k^5 & = \frac1{12}{(2n^6+6n^5+5n^4-n^2)} \\ \end{array}$$
