¿Es posible construir clases de módulo que cubran los enteros?

Question

Estoy tratando de construir (o refutar la existencia de) algunos finito establecer, $S=\left\{(y,k)\mid y,k\in\mathbb{Z},y\ge2\right\}$, donde no hay dos $y$ son iguales, y cada entero $x\in\mathbb{Z}$ puede ser escrito como $x=n\cdot y_i + k_i$, donde $(y_i,k_i)\in S$.

En otras palabras, me pregunto si podría ser posible tal vez construir algo como:

$$x+k_1\equiv r_1\pmod2$$

$$x+k_2\equiv r_2\pmod3$$

$$x+k_3\equiv r_3\pmod4$$

$$\vdots$$

$$x+k_i\equiv r_i\pmod {i+1}$$

donde, para todos los $x\in\mathbb{Z}$, hay al menos un $0 < j\le i$ donde $r_j=0$.

Hasta ahora he escrito un algoritmo voraz en python para intentar encontrar un ejemplo, sin suerte. Por ejemplo, el caso de la mejor manera que he encontrado para $i=4$ da una cobertura de $\frac{56}{60}=\frac{14}{15}$ de los enteros. Tengo la sensación de que no es posible.

Answer 1

Sí! Lo que estás pidiendo, en Wikipedia, la terminología, es un distintivo que cubre el sistema. He aquí un buen ejemplo:

$$\{0(\mathrm{mod}\ {2}),\ 0(\mathrm{mod}\ {3}),\ 1(\mathrm{mod}\ {4}), \ 5(\mathrm{mod}\ {6}),\ 7(\mathrm{mod}\ {12}) \}$$

De acuerdo a arXiv:matemáticas/0412217v2, la anterior fue encontrado por Erdős, así como esta:

$${0(2), 0(3), 0(5), 1(6), 0(7), 1(10), 1(14), 2(15), 2(21), 23(30), 4(35), 5(42), 59(70), 104(105)}$$