Estoy teniendo un momento difícil con mi subconjunto de prueba. Creo que me estoy saltando sobre algunos de los pasos.
Deje $A$, $B$, e $C$ ser conjuntos. Demostrar que $(A ∪ B) ∩ C ⊆ A ∪ (B ∩ C).$
Teorema: $(A ∪ B) ∩ C ⊆ A ∪ (B ∩ C).$
Prueba:
Deje $x ∈ (A ∪ B) ∩ C$
Asumir:
Si $x ∈ A$ o $x ∈ B$, a continuación, $x ∈ C$; desde $(A ∪ B) ∩ C$
Si $x ∈ A$, a continuación, $x ∈ C$
Si $x ∈ B$, a continuación, $x ∈ C$
$∴ x ∈ A ∪ (B ∩ C)$
Parece que confundir la asunción y de lo que tiene para mostrar.
De comenzar a corregir:
Deje $x\in (A\cup B)\cap C)$.
Queremos mostrar, que $x\in A\cup (B\cap C)$.
Desde $x\in (A\cup B)\cap C$. Es $x\in A$ o $x\in B$ e $x\in C$.
Si $x\in A$, a continuación, $x\in A\cup (B\cap C)$.
Si $x\notin A$, a continuación, $x\in B$. Por lo tanto $x\in B\cap C$. Y, por tanto, $x\in A\cup (B\cap C)$.
No estoy realmente seguro de por qué eso de "asumir" la línea está ahí. Probablemente debería ser "por nuestra suposición de que $x \in \cdots$".
De todos modos, me siento como usted consigue la idea general de cómo esta prueba está destinada a entrar - si usted desea probar $A \subseteq B$, se desea mostrar $x \in A \implies x \in B$. Sin embargo, estas cosas son un poco más complicadas que cuando se tienen varios conjuntos y tal en cada lado.
Me gusta pensar en esto en dos pasos - "desentrañar" la mano izquierda de averiguar lo que pone en $x$ es, y lo que no, y tratando de "ravel copia de seguridad de" hacer de la mano derecha.
Algunos de su fraseología oculta esta idea, pero usted consigue la idea, creo. La reescritura de que ayudaría a su claridad venir a través de.
Así, tenemos la certeza de $x\in C$, e $x$ es en uno de ellos (o ambos) $A,B$. Tenemos "descifrado" esta mitad de la prueba, por así decirlo.
En este punto se pone un poco complicado. Es útil aquí para tomar esta por "casos" donde $x \in A$ o $x \in B$.
Por lo tanto, $x \in (A \cup B) \cap C \implies x \in A \cup (B \cap C)$, mostrando $(A \cup B) \cap C \subseteq A \cup (B \cap C)$, completando la prueba.
Me siento como usted consigue la idea de lo que está pasando y la idea básica - su escritura simplemente oculta el hecho. Es importante mantener en mente el por qué de todo lo que sigue a partir de una etapa a la siguiente, la redacción de esa explicación sería muy útil, tanto para su profesor para que siga su prueba, y por sí mismo para justificar lo que está pasando.
Como Cornman notas, parece que usted está teniendo un problema principalmente con la clasificación de lo que se da y, ¿cómo es exactamente que está destinado a ser utilizado en lo que usted está tratando de demostrar. Usted escribe, "Si $x\in A$ o $x\in B$, a continuación, $x\in C$," pero que no tienen una implicación directa no. La total implicación usted está tratando de mostrar es que $$ x\(A\cup B)\cap C\implica x\in A\cup B\cap C);\etiqueta{1} $$ es decir, que están tratando de mostrar que $(A\cup B)\cap C\subseteq A\cup(B\cap C)$ [recordemos que la definición de subconjunto implica, es decir, $A\subseteq B=\{x : x\in A\implies x\in B\}$].
Para ello, usted desea comenzar asumiendo $x\in(A\cup B)\cap C$, y, a continuación, mostrar que esta suposición implica que $x\in A\cup(B\cap C)$. Tenga en cuenta que si $(A\cup B)\cap C$ es de alguna manera vacía, a continuación, $(1)$ es vacuously verdadero. Así que vamos a empezar asumiendo $x\in(A\cup B)\cap C$ y ver si podemos establecer que esta implica necesariamente que $x\in A\cup(B\cap C)$, como se desee.
Aquí es una manera de ver las cosas: $$ \begin{align*} x\in(A\cup B)\cap C &\implies x\in A\cup B\ \text{and}\ x\in C & \text{(def. of %#%#%)}\\[0.5em] &\implies (x\in A\ \text{or}\ x\in B)\ \text{and}\ x\in C & \text{(def. of %#%#%)}\\[0.5em] &\implies (x\in A\ \text{and}\ x\in C)\ \text{or}\ (x\in B\ \text{and}\ x\in C) & \text{(case analysis/distrib.)}\\[0.5em] &\implies (x\in A)\ \text{or}\ (x\in B\ \text{and}\ x\in C) & (\text{since}\ A\cap C\subseteq A)\\[0.5em] &\implies x\in A\ \text{or}\ x\in B\cap C & \text{(def. of %#%#%)}\\[0.5em] &\implies x\in A\cup(B\cap C) & \text{(def. of %#%#%)} \end{align*} $$ En última instancia, usted debe definitivamente saber la distributividad normas relativas a $\cap$ e $\cup$, lo cual nos dice que $$ (A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C), $$ el cual debe ser claro que tenemos $$ (A\cup B)\cap C\subseteq\cup B\cap C) $$ como un resultado natural desde $\cap$ es, sin duda "más grande" de $\cup$.
Teorema: (A ∪ B) ∩ C ⊆ A ∪ (B ∩ C).
Prueba:sea x ∈ (A ∪ B) ∩ C Suponer: si x ∈ A o x ∈ B,entonces x ∈ C; puesto que (A ∪ B) ∩ C si x ∈ A,entonces x ∈ C si x ∈ B,entonces x ∈ C ∴ x ∈ A ∪ (B ∩ C)
Usted está tratando de hacer una prueba por casos. La forma es establecer que la premisa puede ser dividido en dos(o más) de los casos, y que la conclusión puede derivarse en cada caso.
La prueba no es correcta, porque no es el caso que si $x \in A$ o $x \in B$, a continuación, $x \in C$. Pero hay un par de maneras de ver esto. En primer lugar, podemos utilizar el álgebra Booleana:
$$(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C) \subseteq A \cup (B \cap C) \text{ because } A \cap C \subseteq A.$$
En segundo lugar, podemos probar directamente. Si $x \in (A \cup B) \cap C$, a continuación, $x \in C$. Si $x \in B$, a continuación, $x \in B \cap C$, lo que significa que $x \in A \cup (B \cap C)$. Si $x \notin B$, entonces, por $x \in A \cup B$, sabemos que $x \in A$, que a su vez significa $x \in A \cup (B \cap C)$. Por lo tanto, si $x \in (A \cup B) \cap C$, nos han demostrado que, a $x \in A \cup (B \cap C)$ lo $(A \cup B) \cap C \subseteq A \cup (B \cap C).$
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