Jugando con los números de Mersenne, me encontré con la siguiente propiedad distintiva de Mersenne números primos de Mersenne compuesto de números.
Una de Mersenne número, $\text{M}p$, es un número de la forma $2^p - 1$, donde $p$ es primo.
La propiedad
Para $p > 2$, primos Mersenne puede ser expresado como \begin{align*} \text{M}p = \frac{a^3 + b^3}{a + b}\text{,} \end{align*} donde $a$ e $b$ son enteros, $a \neq -b$, con exactamente $12$ soluciones diferentes. Hasta el momento, también se $\operatorname{gcd}(a,b)=1$ tiene para los números primos de Mersenne.
Mersenne compuestos no tienen entero de la solución o de más de $12$ soluciones de ($24$ hasta ahora). También se $\operatorname{gcd}(a,b)=1$ no se sostiene si el entero de las soluciones existen hasta el momento.
Ejemplos
\begin{align*} \text{M}5 &= \frac{6^3 + 5^3}{11} = 31 \\ \text{M}7 &= 7^3 - 6^3 = 127 \end{align*}
La M11 no tiene entero solución para $(a,b)$.
El M37 24 de soluciones y también a$\operatorname{gcd}(a,b)=1$ no posee.
Comentarios
Excepto el M2, doce existen soluciones para cada uno de Mersenne prime. Si $(a,b)$ es una solución, entonces también se $(-a,-b)$, $(b,a)$, e $(-b,-a)$ .
Desde \begin{align*} \frac{a^3 + b^3}{a + b} = a^2 -ab + b^2 \text{,} \end{align*} cada uno de Mersenne prime dispone de una elipse de intersección entero de rejilla asociada con él. Por ejemplo, $-a^2 + ab - b^2 + 127 = 0$ es la elipse para M7.
Resultados
Soluciones para el primer par de los números de Mersenne: $$\begin{matrix} p & \text{M}p & (a,b) \\ \hline 2 & 3 & (1,2) \\ 3 & 7 & (1,-2), (1,3), (2,3) \\ 5 & 31 & (1,-5), (1,6), (5,6) \\ 7 & 127 & (6,-7), (6,13), (7,13) \\ 11 & 2047 & \text{no solution} \\ 13 & 8191 & (1,-90), (1,91), (90,91) \\ 17 & 131071 & (6,-359), (6,365), (359,365) \\ 19 & 524287 & (83,-679), (83, 762), (679, 762) \\ 23 & 8388607 & \text{no solution} \\ 29 & 536870911 & \text{no solution} \\ 31 & 2147483647 & (4698, 43813), (4698,48511), (43813, 48511) \\ 37 & 137438953471 & \text{24 solutions} \\ 41 & 2199023255551 & \text{no solution} \\ 43 & 8796093022207 & \text{no solution} \\ ... & ... & ... \\ \end{de la matriz}$$
He verificado que la conjetura de uso de WolframAlpha para todos los $p$ por debajo de 100.
Pregunta
Usted puede confirmar este resultado? Es esto conocido? Cualquier opinión es bienvenida.
