Mostrando$64$ divide$5^n-8n^2+4n-1$ sin inducción

Question

Quiero mostrar que para todos los valores enteros positivos de $n$ , el número $5^n-8n^2+4n-1$ es divisible por $64$ . Por supuesto, puedo hacerlo fácilmente por inducción, pero ¿existen algunas formas teóricas que pueda utilizar para demostrar la divisibilidad?

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

Me parece que la forma más sencilla es usar la expansión binomial $$ \begin{aligned} 5^n&=(4+1)^n=1+\binom n 1 4+\binom n2 4^2+\text{terms divisible by %#%#%}\\ &\equiv 1+4n+8n(n-1)\pmod{64}\\ &=1-4n+8n^2. \end {alineado} $$

Answer 2

Escribir $a_n=5^n-8n^2+4n-1 = 5^n+(-8n^2+4n-1)1^n$.

A continuación, $a_n$ satisface la recurrencia lineal implícita por $(x-5)(x-1)^3$: $$ a_{n+4} = 8a_{n+3}- 18a_{n+2} + 16a_{n+1} - 5a_{n} $$

La expresión particular para la recurrencia no es importante, excepto que tiene coeficientes enteros.

Línea de base: basta probar que $64$ divide $a_n$ para $n=0,1,2,3$. Este es inmediata, porque $a_0=a_1=a_2=0$ e $a_3=64$.

Answer 3

Solo pruébalos todos. Sabemos que $5^{32} \equiv 1 \pmod {64}$, así que si marca $[0,63]$ , habrá terminado.