Pistas sobre cómo resolver este tipo de problemas en 2-3 minutos para las oposiciones

Question

$$\int_0^{102}\left(\prod_{k=1}^{100}(x-k)\right)\left(\sum_{k=1}^{100}\frac1{x-k}\right)\,dx$$

He intentado resolver este problema pero lo único que se me ocurre es la integración manual por multiplicación de las expresiones lo que literalmente me llevará mucho más tiempo que el asignado para las oposiciones Ahora bien, este es un problema de deberes y ejercicios pero me alegraría si me dieran alguna pista de cómo resolver este problema.

Answer 1

Sugerencia :

Por la regla del producto se tiene el siguiente resultado:

$$\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\prod_{k=1}^{100}(x-k)=\left(\prod_{k=1}^{100}(x-k)\right)\left(\sum_{k=1}^{100}\dfrac{1}{(x-k)}\right)$$

Integrar ambos lados de $0$ a $102$ Si no te gusta el cálculo, utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo y terminarás en un abrir y cerrar de ojos.

Answer 2

Una pista rápida: si se diferencia el producto en el integrando, se obtiene el integrando completo, así que por el teorema fundamental del cálculo se puede evaluar esto muy rápidamente.