¿Una curiosa igualdad de integrales que involucra la función de conteo principal?

Question

Este post se analiza la integral, $$I(k)=\int_0^k\pi(x)\pi(k-x)dx$$

donde $\pi(x)$ es el primer conteo de la función. Por ejemplo, $$I(13)=\int_0^{13}\pi(x)\pi(13-x)dx = 73$$

El uso de WolframAlpha, los 50 primeros valores de $k=1,2,3,\dots$ ,

$$I(k) = 0, 0, 0, 0, 1, 4, 8, 14, 22, 32, 45, 58, 73, 90, 110, 132, 158, 184, 214, 246, 282, 320, 363, 406, 455, 506, 562, 618, 678, 738, 804, 872, 944, 1018, 1099, 1180, 1269, 1358, 1450, 1544, 1644, 1744, 1852, 1962, 2078, 2196, 2321, 2446, 2581, 2718,\dots$$

Tratando de encontrar si la secuencia anterior obedeció a un patrón, me di cuenta de una inesperada relación:

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P: Para todos los $n>0$, es cierto, $$I(6n+4) - 2\,I(6n+5) + I(6n+6) \overset{\color{red}?}= 0$$

Ejemplo, para $n=1,2$, luego $$I(10)-2I(11)+I(12)=32-2*45+58 = 0$$ $$I(16)-2I(17)+I(18)=132-2*158+184= 0$$ y así sucesivamente.

Answer 1

La respuesta es sí. Bosquejo de solución: $$ I(k) = \int_0^k \sum_{p\le x} \sum_{q\le k-x} 1 \,dx = \sum_p \sum_{q\le k-p} \int_p^{k-q} dx = \sum_p \sum_{q\le k-p} (k-(p+q)) = \sum_{m\le k} r(m)(k-m), $$ donde $r(m)$ es el número de maneras de escribir $m$ como la suma de dos números primos. Entonces \begin{align} I(6n+6) &{}-2I(6n+5)+I(6n+4) \\ &= \sum_{m \le 6n+4} r(m)\big((6n+6-m)-2(6n+5-m) +(6m+4-m)\big) + r(6n+5) \\&= 0 + r(6n+5); \end{align} y $r(6n+5)=0$ por cada $n\ge1$, ya que la única manera de que el entero impar $6n+5$ puede ser la suma de dos números primos es $6n+5=2+(6n+3)$, pero $6n+3=3(2n+1)$ siempre es compuesto cuando $n\ge1$.

El mismo argumento da $I(6n+2)-2I(6n+1)+I(6n) = r(6n+1)$, que es $2$ si $6n-1$ es el primer y $0$ lo contrario; es por esta razón (como observó John Omielan) es igual a $2$ para $1\le n\le 5$ pero $0$ para $n=6$.