Método analítico para determinar si una función es unívoca

Question

En álgebra, aprendemos que si una función $f(x)$ tiene un mapeo uno a uno, entonces podemos encontrar la función inversa $f^{-1}(x)$ . El método que he visto enseñar es la "prueba de la línea horizontal": si alguna línea horizontal toca la gráfica de la función más de una vez, entonces no debe ser uno a uno. Este método no es exactamente riguroso, ya que cualquier función con un rango no finito no puede verse completamente en una gráfica.

¿Existe un método analítico para determinar si una función es unívoca? ¿Es esto posible en el álgebra elemental o en el cálculo?

Answer 1

En primer lugar, permítame responder a su pregunta; pero siga leyendo, porque hay mucho más que decir.

Sí: hay una forma analítica de ver si una función es uno-a-uno. Para ello, se necesita la "definición analítica" de ser uno-a-uno. La definición es:

$$f\text{ is one-to-one if and only if for all }a,b\text{ if }a\neq b\text{ then } f(a)\neq f(b).$$ Lógicamente, esto equivale a: $$f\text{ is one-to-one if and only if for all }a,b\text{ if }f(a)=f(b)\text{ then }a=b.$$

Así que esto proporciona una manera de comprobar si la función es uno-a-uno: si usted puede encontrar $a\neq b$ tal que $f(a)=f(b)$ entonces $f$ no es uno a uno; y esta es esencialmente la mejor manera de hacerlo: muestra un par de números distintos que corresponden a lo mismo. Para probar que $\sin(x)$ no es uno a uno, todo lo que tengo que hacer es decir: "Mira, $0$ y $\pi$ son diferentes, pero $\sin(0)=\sin(\pi)$ ."

Para demostrar que una función es uno a uno, se puede hacer de dos maneras (equivalentes): demostrar que si $a$ y $b$ son cualquier números con la propiedad de que $f(a)=f(b)$ entonces debe ser el caso que $a=b$ o demostrar que si $a\neq b$ entonces $f(a)$ debe ser diferente de $f(b)$ .

Por ejemplo, para demostrar que $f(x)=x^3$ es uno a uno, podemos observar que si $f(a)=f(b)$ entonces $a^3=b^3$ y tomando las raíces cúbicas concluimos que $a=\sqrt[3]{a^3} = \sqrt[3]{b^3} = b$ . Así que si $f(a)=f(b)$ entonces $a=b$ . QED.

O podemos argumentar que si $a\neq b$ Entonces, o bien $a\lt b$ o $a\gt b$ . Si $a\lt b$ entonces $a^3\lt b^3$ (se puede demostrar fácilmente utilizando las propiedades de los números reales y las desigualdades), por lo que $f(a)\neq f(b)$ . Si $a\gt b$ entonces $f(a)=a^3\gt b^3=f(b)$ Por lo tanto $f(a)\neq f(b)$ . De cualquier manera, $a\neq b$ implica $f(a)\neq f(b)$ Así que $f$ es uno a uno.

Esta es la forma estándar de demostrar, analíticamente, que una función es uno a uno. La forma de establecer la implicación dependerá de la función.

Dicho esto, hay algunas cosas que conviene recordar:

Primero: para especificar una función, normalmente necesitamos especificar al menos dos cosas: el dominio de la función y el valor de la función en cualquier punto del dominio.

Más a menudo, nos interesan las funciones entre dos conjuntos específicos. En ese caso, tenemos que especificar tres cosas: el dominio, el conjunto en el que estarán las imágenes, y el valor de las funciones en cualquier punto del dominio.

Así, si decimos que tenemos una función $f\colon X\to Y$ entre dos conjuntos, entonces nos referimos a eso:

1. Para cada $x\in X$ hay un elemento de $y\in Y$ tal que $f(x)=y$ y

2. Para cada $x\in X$ Sólo hay una $y\in Y$ con $f(x)=y$ (valor único).

Por lo tanto, necesitamos cada elemento de $X$ para tener una imagen única. Los diferentes elementos de $X$ pueden tener la misma imagen, pero un mismo elemento no debe tener varias imágenes. Llamamos $X$ el dominio de $f$ y llamamos $Y$ el codominio de $f$ .

Sin embargo, en el cálculo solemos ser un poco descuidados. Casi nunca mencionamos ni el dominio ni el codominio. En su lugar, acordamos que o bien especificamos el dominio explícitamente, o bien nos referimos al "dominio natural". Y casi nunca mencionamos el codominio.

Ahora, si tienes una función $f\colon X\to Y$ entonces decimos que una función $g\colon Y\to X$ "ir en sentido contrario" es "la inversa de $f$ " si y sólo si ocurren dos cosas:

• Por cada $x\in X$ , $g(f(x)) = x$ ( $g$ "des-hace" lo que $f$ lo hace); y
• Por cada $y\in Y$ , $f(g(y)) = y$ ( $f$ "des-hace" lo que $g$ lo hace).

Ahora, para que esto funcione realmente, necesitamos dos cosas:

• Dado un elemento $y\in Y$ puede haber a lo sumo una $x\in X$ tal que $y=f(x)$ . Esta es la condición "uno a uno". Si se piensa en términos de cálculo y de la gráfica, se trata precisamente de la "prueba de la línea horizontal": para cada valor de $y$ (cada línea horizontal), hay a lo sumo un punto en el dominio donde $f$ toma valor $y$ (corta el gráfico como máximo en un punto).

  • Razón: Si tuvieras $x\neq x'$ pero con $y=f(x)=f(x')$ entonces necesitaría $g(y)=x$ para que $x=g(y)=g(f(x))$ , pero también necesitaría $g(y)=x'$ porque $x'=g(y) = g(f(x'))$ . Pero una función no puede tener dos valores diferentes en el mismo punto, por lo que es una situación imposible para $g$ . La única manera de resolver este dilema es que $g$ no existir, o para $x$ y $x'$ no existir.

• Dado cualquier elemento $y\in Y$ , hay al menos un $x\in X$ tal que $y=f(x)$ . Esta es la parte "onto" o "surjective" que la gente ha mencionado.

  • Razón: Como también queremos $f(g(y))=y$ por cada $y\in Y$ necesitamos que haya un elemento de $X$ , a saber $g(y)$ que se asigna a $y$ .

Así que: si $f\colon X\to Y$ tiene una inversa, entonces debe ser ambos uno a uno, y en el conjunto $Y$ . Esto es necesario. De hecho, también es suficiente, y se puede demostrar que si hay una inversa, entonces hay una y sólo una inversa, por lo que la llamamos $f^{-1}$ en lugar de $g$ .

Ahora bien, la cuestión es la siguiente: si su función satisface la primero (uno a uno), pero no el segundo, entonces puedes "hacer trampa": en lugar de pensar en $f$ como una función de $X$ a $Y$ dejamos que $Y'=\mathrm{Image}(f)$ y luego mira la función $\mathfrak{f}\colon X\to Y'$ con $\mathfrak{f}(x)=f(x)$ por cada $x$ lo único que cambiamos es lo que queremos que el conjunto $Y$ para ser. Esto no es realmente lo mismo que $f$ : $\mathfrak{f}$ un es tanto en uno como en otro, por lo que $\mathfrak{f}$ hace tienen un inverso, aunque $f$ no lo hace.

Por ejemplo, si piensa en la función $f\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dado por $f(x)=e^x$ entonces $f$ es uno a uno, pero no es onto ( $f(x)$ no toma valores negativos). Por tanto, esta función no es invertible. Sin embargo, si modificamos la función y pensamos en ella como $\mathfrak{f}\colon\mathbb{R}\to (0,\infty)$ dado por $\mathfrak{f}(x)=e^x$ entonces $\mathfrak{f}$ es en, también es uno a uno, por lo que $\mathfrak{f}$ es invertible. La inversa es una función $f^{-1}\colon (0,\infty)\to\mathbb{R}$ por lo que las únicas entradas válidas son los números positivos. (Es posible que sepa quién $f^{-1}$ es: es el logaritmo natural).

Ahora, fíjate que para comprobar si una función tiene una inversa, necesitas saber ambos qué $X$ y que $Y$ es. Pero en Cálculo casi nunca mencionamos $Y$ . ¿Qué podemos hacer?

Bueno, estamos de acuerdo en que tomaremos $Y$ para ser "la imagen de $f$ "; es decir, la colección $$\{ f(x) \mid x\text{ is in the domain of }f\}.$$ Esto significa que siempre asumimos "automáticamente" que nuestras funciones son "onto". Lo decimos diciendo que la función está "sobre su imagen".

Teniendo en cuenta ese acuerdo, para averiguar si $f$ tiene una inversa, sólo necesitamos saber si $f$ es uno a uno, por eso tu libro de cálculo dice cosas como "una función tiene una inversa si y sólo si es uno a uno, si y sólo si pasa la prueba de la línea horizontal". Se refieren exclusivamente a funciones cuyo codominio es siempre tomada como la imagen.

Answer 2

Una función es invertible si y sólo si es biyectiva, es decir, suryectiva (sobre) e inyectiva (uno a uno), por lo que tu afirmación no es correcta.

Si se quiere determinar que una función es inyectiva, se asume $f(x) = f(y)$ y derivar $x = y$ o bien puede suponer $x \neq y$ y demostrar que $f(x) \neq f(y)$ .

Ahora, si tienes una función lineal $f$ entonces vemos que tenemos que demostrar que si $f(x) = f(y)$ tenemos que $f(x - y) = 0$ En otras palabras, tenemos que demostrar que $f(x) = 0$ implica $x = 0$ . Esto suele ser más fácil.

En el caso de que se quiera demostrar que una función es biyectiva (y por tanto invertible) se demuestra primero que es inyectiva y luego que si $f: X \to Y$ que para cada $y \in Y$ puede encontrar un $x \in X$ tal que $f(x) = y$ .