En primer lugar, permítame responder a su pregunta; pero siga leyendo, porque hay mucho más que decir.
Sí: hay una forma analítica de ver si una función es uno-a-uno. Para ello, se necesita la "definición analítica" de ser uno-a-uno. La definición es:
$$f\text{ is one-to-one if and only if for all }a,b\text{ if }a\neq b\text{ then } f(a)\neq f(b).$$ Lógicamente, esto equivale a: $$f\text{ is one-to-one if and only if for all }a,b\text{ if }f(a)=f(b)\text{ then }a=b.$$
Así que esto proporciona una manera de comprobar si la función es uno-a-uno: si usted puede encontrar $a\neq b$ tal que $f(a)=f(b)$ entonces $f$ no es uno a uno; y esta es esencialmente la mejor manera de hacerlo: muestra un par de números distintos que corresponden a lo mismo. Para probar que $\sin(x)$ no es uno a uno, todo lo que tengo que hacer es decir: "Mira, $0$ y $\pi$ son diferentes, pero $\sin(0)=\sin(\pi)$ ."
Para demostrar que una función es uno a uno, se puede hacer de dos maneras (equivalentes): demostrar que si $a$ y $b$ son cualquier números con la propiedad de que $f(a)=f(b)$ entonces debe ser el caso que $a=b$ o demostrar que si $a\neq b$ entonces $f(a)$ debe ser diferente de $f(b)$ .
Por ejemplo, para demostrar que $f(x)=x^3$ es uno a uno, podemos observar que si $f(a)=f(b)$ entonces $a^3=b^3$ y tomando las raíces cúbicas concluimos que $a=\sqrt[3]{a^3} = \sqrt[3]{b^3} = b$ . Así que si $f(a)=f(b)$ entonces $a=b$ . QED.
O podemos argumentar que si $a\neq b$ Entonces, o bien $a\lt b$ o $a\gt b$ . Si $a\lt b$ entonces $a^3\lt b^3$ (se puede demostrar fácilmente utilizando las propiedades de los números reales y las desigualdades), por lo que $f(a)\neq f(b)$ . Si $a\gt b$ entonces $f(a)=a^3\gt b^3=f(b)$ Por lo tanto $f(a)\neq f(b)$ . De cualquier manera, $a\neq b$ implica $f(a)\neq f(b)$ Así que $f$ es uno a uno.
Esta es la forma estándar de demostrar, analíticamente, que una función es uno a uno. La forma de establecer la implicación dependerá de la función.
Dicho esto, hay algunas cosas que conviene recordar:
Primero: para especificar una función, normalmente necesitamos especificar al menos dos cosas: el dominio de la función y el valor de la función en cualquier punto del dominio.
Más a menudo, nos interesan las funciones entre dos conjuntos específicos. En ese caso, tenemos que especificar tres cosas: el dominio, el conjunto en el que estarán las imágenes, y el valor de las funciones en cualquier punto del dominio.
Así, si decimos que tenemos una función $f\colon X\to Y$ entre dos conjuntos, entonces nos referimos a eso:
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Para cada $x\in X$ hay un elemento de $y\in Y$ tal que $f(x)=y$ y
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Para cada $x\in X$ Sólo hay una $y\in Y$ con $f(x)=y$ (valor único).
Por lo tanto, necesitamos cada elemento de $X$ para tener una imagen única. Los diferentes elementos de $X$ pueden tener la misma imagen, pero un mismo elemento no debe tener varias imágenes. Llamamos $X$ el dominio de $f$ y llamamos $Y$ el codominio de $f$ .
Sin embargo, en el cálculo solemos ser un poco descuidados. Casi nunca mencionamos ni el dominio ni el codominio. En su lugar, acordamos que o bien especificamos el dominio explícitamente, o bien nos referimos al "dominio natural". Y casi nunca mencionamos el codominio.
Ahora, si tienes una función $f\colon X\to Y$ entonces decimos que una función $g\colon Y\to X$ "ir en sentido contrario" es "la inversa de $f$ " si y sólo si ocurren dos cosas:
- Por cada $x\in X$ , $g(f(x)) = x$ ( $g$ "des-hace" lo que $f$ lo hace); y
- Por cada $y\in Y$ , $f(g(y)) = y$ ( $f$ "des-hace" lo que $g$ lo hace).
Ahora, para que esto funcione realmente, necesitamos dos cosas:
-
Dado un elemento $y\in Y$ puede haber a lo sumo una $x\in X$ tal que $y=f(x)$ . Esta es la condición "uno a uno". Si se piensa en términos de cálculo y de la gráfica, se trata precisamente de la "prueba de la línea horizontal": para cada valor de $y$ (cada línea horizontal), hay a lo sumo un punto en el dominio donde $f$ toma valor $y$ (corta el gráfico como máximo en un punto).
- Razón: Si tuvieras $x\neq x'$ pero con $y=f(x)=f(x')$ entonces necesitaría $g(y)=x$ para que $x=g(y)=g(f(x))$ , pero también necesitaría $g(y)=x'$ porque $x'=g(y) = g(f(x'))$ . Pero una función no puede tener dos valores diferentes en el mismo punto, por lo que es una situación imposible para $g$ . La única manera de resolver este dilema es que $g$ no existir, o para $x$ y $x'$ no existir.
-
Dado cualquier elemento $y\in Y$ , hay al menos un $x\in X$ tal que $y=f(x)$ . Esta es la parte "onto" o "surjective" que la gente ha mencionado.
- Razón: Como también queremos $f(g(y))=y$ por cada $y\in Y$ necesitamos que haya un elemento de $X$ , a saber $g(y)$ que se asigna a $y$ .
Así que: si $f\colon X\to Y$ tiene una inversa, entonces debe ser ambos uno a uno, y en el conjunto $Y$ . Esto es necesario. De hecho, también es suficiente, y se puede demostrar que si hay una inversa, entonces hay una y sólo una inversa, por lo que la llamamos $f^{-1}$ en lugar de $g$ .
Ahora bien, la cuestión es la siguiente: si su función satisface la primero (uno a uno), pero no el segundo, entonces puedes "hacer trampa": en lugar de pensar en $f$ como una función de $X$ a $Y$ dejamos que $Y'=\mathrm{Image}(f)$ y luego mira la función $\mathfrak{f}\colon X\to Y'$ con $\mathfrak{f}(x)=f(x)$ por cada $x$ lo único que cambiamos es lo que queremos que el conjunto $Y$ para ser. Esto no es realmente lo mismo que $f$ : $\mathfrak{f}$ un es tanto en uno como en otro, por lo que $\mathfrak{f}$ hace tienen un inverso, aunque $f$ no lo hace.
Por ejemplo, si piensa en la función $f\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dado por $f(x)=e^x$ entonces $f$ es uno a uno, pero no es onto ( $f(x)$ no toma valores negativos). Por tanto, esta función no es invertible. Sin embargo, si modificamos la función y pensamos en ella como $\mathfrak{f}\colon\mathbb{R}\to (0,\infty)$ dado por $\mathfrak{f}(x)=e^x$ entonces $\mathfrak{f}$ es en, también es uno a uno, por lo que $\mathfrak{f}$ es invertible. La inversa es una función $f^{-1}\colon (0,\infty)\to\mathbb{R}$ por lo que las únicas entradas válidas son los números positivos. (Es posible que sepa quién $f^{-1}$ es: es el logaritmo natural).
Ahora, fíjate que para comprobar si una función tiene una inversa, necesitas saber ambos qué $X$ y que $Y$ es. Pero en Cálculo casi nunca mencionamos $Y$ . ¿Qué podemos hacer?
Bueno, estamos de acuerdo en que tomaremos $Y$ para ser "la imagen de $f$ "; es decir, la colección $$\{ f(x) \mid x\text{ is in the domain of }f\}.$$ Esto significa que siempre asumimos "automáticamente" que nuestras funciones son "onto". Lo decimos diciendo que la función está "sobre su imagen".
Teniendo en cuenta ese acuerdo, para averiguar si $f$ tiene una inversa, sólo necesitamos saber si $f$ es uno a uno, por eso tu libro de cálculo dice cosas como "una función tiene una inversa si y sólo si es uno a uno, si y sólo si pasa la prueba de la línea horizontal". Se refieren exclusivamente a funciones cuyo codominio es siempre tomada como la imagen.
