Tenemos el núcleo de Fejer $K_N(x) = \frac{1}{N+1} \frac{1 - \cos((N+1)x)}{1 - \cos(x)} $ donde $ N \geq 0$ y necesitan demostrar que $\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} K_N(x) dx = 1 $ . He probado la integral jugando con las representaciones en serie de Taylor de $\cos$ y $\cos(mx)$ en vano. Luego busqué brevemente las representaciones polinómicas de Chebychev y me parecieron demasiado complicadas para este problema. Actualmente lo estoy intentando por inducción pero no sé si esto llegará a alguna parte.
Por cierto, este problema está en el bebé Rudin en el cap. 8 "Algunas funciones especiales" y es el ejercicio 15.(b) en la pg 199. Pero por alguna razón no hay solución a esto en cualquier lugar en línea.
Se agradece cualquier ayuda.
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Resulta evidente cuando se utiliza la definición de la serie de Fourier $K_N(x) = \sum_{n=-N}^N \frac{N-|n|}{N} e^{i n x}$
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@reuns cuando $N=0$ la integral es obvia simplemente usando el $\cos$ definición. Pero la integral de $e^{inx}$ de $-\pi$ a $\pi$ es igual a $0$ para cualquier $n > 0$ . Y la única forma obvia de demostrar mi problema usando tu definición sería hacer algún tipo de cambio entre integral de suma.
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Claro $$\int_{-\pi}^\pi \sum_{n=-N}^N \frac{N-|n|}{N} e^{i n x} dx = \sum_{n=-N}^N \frac{N-|n|}{N} \int_{-\pi}^\pi e^{i n x} dx = \sum_{n=-N}^N \frac{N-|n|}{N} 2\pi 1_{n = 0} = 2\pi$$ Es una suma finita por lo que no hay nada especial en cambiar $\sum,\int$
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@reuns Vaya, soy realmente estúpido. Me quedé pensando "pero qué pasa cuando la integral es cero para n distinto de cero", pero no me di cuenta de que eso sólo significaba que la suma se reduciría entonces al uno $n=0$ término. Gracias.