Dado$x_1 + x_2 + .... + x_{1994} = 1994$ encontrar todos$x_i$

Question

$x_1 + x_2 + ..... + x_{1994} = 1994$

$x_1^3 + x_2^3 + .... +x_{1994}^3 = x_1^4 + x_2^4 + .... +x_{1994}^4$

Encuentra todos los$x_i$ donde todos son números reales

Intenté probar que todos son iguales a 1 usando la desigualdad, pero no pude hacer nada útil. Intenté probar el caso base donde solo hay$x_1$ y$x_2$, pero no hay suerte de esa manera. Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Podemos aplicar la desigualdad de Tchebychev para ordenó secuencias; se afirma que si para los números reales $a_1,...,a_n$ $b_1,...,b_n$ tenemos $a_1≤...≤a_n$ $b_1≤...≤b_n$ $$\sum_{i=1}^n a_ib_i≥\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i\right).$$ con igualdad si y sólo si una de las secuencias es constante.

Vemos entonces que el $x_1^3,...,x_{1994}^3$ $x_1-1,...,x_{1994}-1$ están ordenados de la misma manera y por lo tanto $$0=\sum_{i=1}^{1994} x_i^4-\sum_{i=1}^{1994} x_i^3=\sum_{i=1}^{1994} x_i^3(x_i-1)≥\frac{1}{1994}\left(\sum_{i=1}^n x_i^3\right)\left(\sum_{i=1}^n (x_i-1)\right)=0.$$ Por lo tanto una de las secuencias es constante y por lo tanto $x_1=...=x_{1994}=1$.

Answer 2

$$1994\sum_{i=1}^{1994}x^4\geq\sum_{i=1}^{1994}x_i\sum_{i=1}^{1994}x_i^3 La igualdad se produce para$x_i=1$.

La desigualdad anterior es suficiente para probar todo$x_i\geq0$, lo cual es cierto por Muirhead.