¿Qué es un sistema Dynkin? ( $ \lambda $ -sistema)

Question

Hasta hace poco, todo mi conocimiento de la teoría de la medida y la integración de Lebesgue son del libro de Rudin, que se centra únicamente en la medida de Lebesgue, su construcción y nada más. Acabo de poner mis manos en un bonito libro "Teoría de la Medida y la Integración" de Heinz Bauer y actualmente lo estoy disfrutando. He encontrado la definición de un sistema de Dynkin $ \mathcal D$ que es una familia de subconjuntos de un conjunto $ \Omega $ satisfactoria

1.) $ \Omega\in\mathcal D$ .

2.) Si $A \in\mathcal D$ Entonces $A^c \in\mathcal D$ .

3.) Para $n \in\Bbb N$ si $A_n \in\mathcal D$ están desarticulados por parejas, entonces $ \bigcup_ {n=1}^{ \infty }A_n \in\mathcal D$ .

Tengo una idea de lo que es un $ \sigma $ -la álgebra lo es, pero no sobre un sistema Dynkin. Apreciaría mucho que alguien me diera una intuición sobre los sistemas de Dynkin o lo que se supone que representan. ¿Cuáles son las características de un sistema de Dynkin que te permiten reconocerlo una vez que lo ves?

Sé que el $ \pi $ - $ \lambda $ teorema y hechos como un sistema de Dynkin $ \mathcal D$ es un $ \sigma $ -algebra si se cierra bajo la intersección, también sería bueno que alguien me explicara por qué debemos esperar tal resultado. Gracias de antemano.

Answer 1

Una motivación para los sistemas Dynkin (y especialmente, el $\pi$ - $\lambda$ Teorema) es el siguiente problema:

¿Cuántos conjuntos debo comprobar para estar seguro de que dos medidas de probabilidad $\mu$ y $\nu$ son los mismos?

En aras de la definición, ambos $\mu$ y $\nu$ se definen en un espacio medible $(\Omega,\Sigma)$ . Una respuesta trivial a la pregunta anterior es "Si coinciden sobre $\Sigma$ son lo mismo" . Cierto, e inútil. Así que vamos a pensar en esto por un momento. Si he comprobado que $\mu(A) =\nu(A)$ para algunos $A\in\Sigma$ no es necesario comprobar el complemento, ya que $$ \mu(A^c) =1-\mu(A) = 1-\nu(A) = \nu(A^c). $$ También es inmediato por $\sigma$ -aditividad que si coinciden en una secuencia de conjuntos disjuntos por pares $A_n$ deben coincidir en su unión. Por lo tanto, concluimos

Si dos medidas de probabilidad coinciden en una familia $\mathcal{A}\subseteq\Sigma$ entonces coinciden en el sistema Dynkin generado por $\mathcal{A}$ (es decir, el más pequeño $\lambda$ -sistema que lo contiene).

Los argumentos anteriores no se pueden generalizar a las intersecciones; no podemos calcular $\mu(A\cap B)$ de $\mu(A)$ y $\mu(B)$ . Por lo tanto, sería deseable que nuestros datos iniciales (conjuntos comprobados para la coincidencia) sean una familia de conjuntos cerrados bajo intersecciones binarias. En este caso, el $\pi$ - $\lambda$ confirma esta intuición: Si $\Sigma$ es generada por una familia $\mathcal{A}$ entonces es igual al sistema Dynkin más pequeño que incluye el cierre de $\mathcal{A}$ bajo las intersecciones (es decir, el $\pi$ -sistema generado por él).

Por lo tanto, para comprobar que $\mu$ y $\nu$ son iguales, basta con tomar una familia $\mathcal{A}$ tal que de $\Sigma =\sigma(\mathcal{A})$ y comprobar que las medidas coinciden en toda intersección finita de miembros de $\mathcal{A}$ .