límite del

Question

Deje que$\{x_n\}_{n\geq 1}$ se defina como$x_n = \frac{n}{n^3+1}+\frac{2n}{n^3+2}+\dots+\frac{n\cdot n}{n^3+n}$. ¿Entonces es?

Quiero encontrar el límite de este problema por un método muy específico. Estoy subiendo la foto de ese método y mi intento. Por favor, guíame en cuanto a cómo llevar adelante este método.

Answer 1

Solución alternativa:

PS

El límite de la última expresión es$$x_n < \frac{n}{n^3+1} + \frac{2n}{n^3+1} + \cdots + \frac{n\cdot n}{n^3+1} = \frac{n(1+2+\cdots + n)}{n^3+1} = \frac{n\cdot n(n+1)/2}{n^3+1}.$. A continuación tenemos

PS

La última fracción también tiene un límite$1/2.$ Según el teorema de compresión, el límite deseado es$$\frac{n}{n^3+n} + \frac{2n}{n^3+n} + \cdots + \frac{n\cdot n}{n^3+n} = \frac{n\cdot n(n+1)/2}{n^3+n} < x_n.$

Answer 2

De partida donde la dejaste: para $n\geq 1$, $$x_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{\frac{k}{n}}{1+\frac{k}{n^3}} \etiqueta{1}$$ Mientras que este furiosamente se ve como una suma de Riemann, es no , debido a la $\frac{k}{n^3}$ en el denominador. Pero a continuación, podemos utilizar el teorema del sándwich: como $1\leq k\leq n$, $$\frac{1}{1+\frac{1}{n^2}}\cdot \underbrace{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{k}{n}}_{} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{\frac{k}{n}}{1+\frac{1}{n^2}} \leq x_n \leq \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{\frac{k}{n}}{1+\frac{1}{n^3}} = \frac{1}{1+\frac{1}{n^3}}\cdot\underbrace{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{k}{n}}_{}$$ y desde $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n^2}} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{1+\frac{1}{n^3}} = 1$, por el teorema del encaje, el límite será de $$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{k}{n} = \int_0^1 f(x)dx$$ para algunos muy simple función de $f$.

Answer 3

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[8px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ $$\begin{align} \lim_{n \to \infty}x_{n} & = \lim_{n \to \infty}\sum_{k = 1}^{n}{kn \over n^{3} + k} = \lim_{n \to \infty}\sum_{k = 1}^{n}{\pars{k + n^{3}}n - n^{4} \over k + n^{3}} = \lim_{n \to \infty}\bracks{n^{2} - n^{4}\sum_{k = 0}^{n - 1}{1 \over k + 1 + n^{3}}} \\[5mm] & = \lim_{n \to \infty}\bracks{n^{2} - n^{4}\sum_{k = 0}^{\infty} \pars{{1 \over k +1 + n^{3}} - {1 \over k + n + 1 + n^{3}}}} \\[5mm] & = \lim_{n \to \infty}\bracks{n^{2} - n^{4}\pars{H_{n + n^{3}} - H_{n^{3}}}} \label{1}\tag{1} \end{align}$$ donde $\ds{H_{m}}$ es un Número Armónico que tiene la asintótica de expansión$\ds{\pars{\mbox{as}\ m \to \infty}}$: $$H_{m} \sim \ln\pars{m} + \gamma + {1 \over 2m} - {1 \over 12m^{2}}$$ $\ds{\gamma}$ es el de Euler-Mascheroni Constante.

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La expresión $\eqref{1}$ se convierte en: $$\begin{align} \lim_{n \to \infty}x_{n} & = \lim_{n \to \infty}\braces{n^{2} - n^{4} \bracks{\ln\pars{n + n^{3} \over n^{3}} - {1 \over 2}\,{n \over n^{3}\pars{n + n^{3}}}}} = \bbx{\ds{1 \over 2}} \end{align}$$