Cómo probar $\lim_{n \to \infty} \cos \dfrac {\pi}{2^2}\cos \dfrac {\pi}{2^3}\cos \dfrac {\pi}{2^4}......\cos \dfrac {\pi}{2^n}=\dfrac {2}{\pi}$

Question

Me encontré con el siguiente problema que dice:

demostrar que $$\lim_{n \to \infty} \cos \dfrac {\pi}{2^2}\cos \dfrac {\pi}{2^3}\cos \dfrac {\pi}{2^4}......\cos \dfrac {\pi}{2^n}=\dfrac {2}{\pi}$$ .

Mi intento: Deja que $$P=\lim_{n \to \infty} [\cos \dfrac {\pi}{2^2}\cos \dfrac {\pi}{2^3}\cos \dfrac {\pi}{2^4}......\cos \dfrac {\pi}{2^n}] \implies \log P=\lim_{n \to \infty} \sum_{r=2}^{n}\log (\cos \dfrac {\pi}{2^r})$$ .

Ahora, estoy atascado y no sé qué camino tomar. ¿Puede alguien indicarme la dirección correcta? Gracias de antemano por su tiempo.

Answer 1

Dejemos que $$g_n = \prod_{k=2}^n \cos \frac{\pi}{2^k}$$ Entonces $$g_n \sin \frac{\pi}{2^n} = \frac{1}{2} g_{n-1} \sin \frac{\pi}{2^{n-1}}$$ Lo que significa que $$g_n \sin \frac{\pi}{2^n} = \frac{1}{2^{n-1}} g_1 = \frac{1}{2^{n-1}}$$ Por lo tanto, $$g_n = \frac{2}{\pi} \frac{\frac{\pi}{2^{n}}}{\sin \frac{\pi}{2^{n}}} \longrightarrow_{n \to \infty} \frac{2}{\pi}$$

Answer 2

Toma el término dentro del límite:

$$\cos \dfrac {\pi}{2^2}\cos \dfrac {\pi}{2^3}\cos \dfrac {\pi}{2^4}......\cos \dfrac {\pi}{2^n}$$

Ahora multiplica y divide por $2*\sin \dfrac {\pi}{2^n}$ . Lo consigues:

$$\dfrac{\cos \dfrac {\pi}{2^2}\cos \dfrac {\pi}{2^3}\cos \dfrac {\pi}{2^4}......2*\sin \dfrac {\pi}{2^n}\cos \dfrac {\pi}{2^n}}{2*\sin \dfrac {\pi}{2^n}}$$

$2*\sin \dfrac {\pi}{2^n}\cos \dfrac {\pi}{2^n}$ = $\sin \dfrac {\pi}{2^{n-1}}$

Ahora multiplica y divide por 2 y continúa este proceso hasta que obtengas :

$\dfrac{\sin \dfrac {\pi}{2}}{2^{n}*\sin \dfrac {\pi}{2^n}}$

Aplicando el límite a esto usando la fórmula $$\lim_{x \to \infty}\dfrac{sin(x)}{x} = 1$$ le dará la respuesta como : $\dfrac{2}{\pi}$

Answer 3

Sugerencia: considere $\sin 2x=2\sin x\cos x$ .