Teorema de punto fijo de Leray-Schauder

Question

Sé que la prueba de la Schauder teorema de punto fijo de la cual los estados

Punto fijo de Schauder teorema: Si $D$ es no-vacío , convexo y compacto subconjunto del espacio de Banach $B$ $T:D \to D$ una función continua, a continuación, $T$ tiene un punto fijo en $D$.

Ahora mi pregunta es cómo puedo probar el Leray-Schauder teorema de punto fijo, que los estados

Leray-Schauder teorema de punto fijo: Si $D$ es no-vacío , convexo , delimitado y cerrado subconjunto del espacio de Banach $B$ $T:D \to D$ un compacto y continuo mapa, $T$ tiene un punto fijo en $D$.

Podemos probar el Leray-Schauder de punto fijo con el teorema de Schauder teorema de punto fijo o son las pruebas técnicamente diferente?

Answer 1

$D$ está cerrado y limitado, y $T$ compacto, por lo tanto, $K = \overline{T(D)} \subset D$ es compacto. Por lo tanto, es totalmente acotado el casco convexo $\operatorname{co} K$ y $C = \overline{\operatorname{co} K} \subset D$ es un compacto convexo no vacío. La restricción $T\lvert_C \colon C \to C$ es continuo. Por el teorema del punto fijo de Schauder, $T\lvert_C$ tiene un punto fijo en $C$.