La fórmula de Vieta ha fallado?

Question

Encontrar el valor de $p$ si $p$ $q$ son las raíces de la ecuación,

$x^2+px+q=0, \ \ \{x,p,q\}\in\ \mathbb{R}$

Mediante el uso de vieta de la fórmula para la suma y el producto de las raíces,

$\begin{cases} p+q=-p \\[2ex] pq=q \end{casos}$

que da $p=\{0,1\}$

mientras que la solución de (sustituyendo $p$ $q$ en la ecuación original.)

$\begin{cases} 2p^2+q=0 \\[2ex] q^2+pq+q=0 \end{casos}$

da $p=\{0,1,-\dfrac{1}{2}\}$

Estoy muy confundido sobre por qué vieta la fórmula del error.

En mi libro la respuesta dada es $p=\{0,1,-\dfrac{1}{2}\}$

Busco una breve y sencilla.

Answer 1

En resumen, la diferencia es debido a que las fórmulas de Vieta asumir que $p$ $q$ son diferentes raíces de la ecuación (en el sentido de que corresponden a diferentes factores, no necesariamente en el sentido de ser numéricamente desigual), mientras que el segundo sistema asume que $p$ $q$ tanto resolver la ecuación.

Para ser más explícitos, vamos a resolver su sistema de segundo para ver lo que está pasando. Restando las dos ecuaciones de cada uno de los otros da $$q^2+pq-2p^2=0\\ (q-p)(q+2p)=0$$

Así que o $q=p$ o $q=-2p$.

Si $q=-2p$, obtenemos $2p^2-2p=0$, lo $p=q=0$ o $p=1$, $q=-2$. Tenga en cuenta que estas son soluciones de la Vieta sistema.

Si $q=p$, obtenemos $2p^2+p=0$, lo $p=q=0$ (de nuevo) o $p=q=-1/2$. Esta última solución no satisfacer las fórmulas de Vieta. ¿Por qué no? Porque significa que la ecuación original fue $$x^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}=0$$ que tiene soluciones de $x=-\frac{1}{2}$$x=1$. Así que en este caso tanto en $p$ $q$ son raíces de $x^2+px+q$, pero no son "la" raíces de $x^2+px+q$ (ya que ambos son de la misma raíz).