Prueba de$\frac{d}{dx}a^x=a^x\ln a$ a partir de la definición integral del logaritmo natural

Question

Utilizando la definición de logaritmo natural como $\displaystyle\ln x=\int_1^x\frac{dt}{t}$, hay una forma de demostrar que $\frac{d}{dx}a^x=a^x\ln a$?

Las pruebas de que yo, en general, han visto que han utilizado la definición de logaritmo natural como la inversa de la función exponencial $e^x$: $$\frac{d}{dx}a^x=\frac{d}{dx}e^{x\ln a}=e^{x\ln a}\ln a=a^x\ln a$$ usando la regla de la cadena y el hecho de que $f(x)=e^x$ satisface $f'(x)=f(x)$. Pero hay una manera de ir sobre la búsqueda de este derivado, sin el uso de la definición de logaritmo natural como la inversa de la función exponencial?

Answer 1

Te gustaría ver algo como esto?

Si definimos $\exp: \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{+}$ como la inversa de la $\log$ función, obtenemos que, por la derivada de la función inversa y de la FTC1: $$\exp'(x)=\frac{1}{\frac{1}{\exp(x)}}=\exp(x)$$ Y con la siguiente definición de $a^x$ (para $a \neq 1$ e $a > 0$): $$a^x:=\exp(\log(a)x)$$ y la regla de la cadena obtenemos el resultado que usted ha mencionado.