Ayuda para entender una prueba sencilla.

Question

Dejemos que $Ax + By + C = 0$ sea una ecuación general de una recta y $x\cos \alpha + y\sin \alpha - p = 0$ sea la forma normal de la ecuación.

Entonces,

$${-p\over C } = { \cos \alpha\over A} = { \sin\alpha\over B}\tag{1}$$ $${p\over C } = { \cos \alpha\over -A} = { \sin\alpha\over -B} \tag{2}$$ $${p\over C } = { \cos \alpha\over -A} = { \sin\alpha\over -B} = {\sqrt{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}\over \sqrt{A^2 + B^2}} = {1\over \sqrt{A^2 + B^2}} \tag{3}$$

$$\therefore \bbox[ #FFFDD0, 10px, Border:2px solid #DC143C]{p = {C\over \sqrt{A^2 + B^2}}, \cos \alpha = {-A\over \sqrt{A^2 + B^2}},\sin\alpha = {-B\over \sqrt{A^2 + B^2}}} $$

No conseguí el $(3)$ parte. ¿Dónde está el $\displaystyle{\sqrt{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}\over \sqrt{A^2 + B^2}}$ ¿vienen de?

Answer 1

$$ {p\over C } = { \cos \alpha\over -A} = { \sin\alpha\over -B} \\ \implies \frac{p^2}{C^2}=\frac{\cos^2(\alpha)}{A^2}=\frac{\sin^2(\alpha)}{B^2} $$

Si $$ \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k \\ \implies a=bk, c=dk $$ Así que el valor de : $$ \frac{a+c}{b+d}=\frac{bk+dk}{b+d}=\frac{k(b+d)}{b+d}=k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d} $$ Simplemente, en una proporción de dos o más cocientes iguales, la suma de los antecedentes dividida por la suma de los consecuentes es igual a cualquiera de los cocientes.

De la misma manera : $$ \frac{p^2}{C^2}=\frac{\cos^2(\alpha)}{A^2}=\frac{\sin^2(\alpha)}{B^2}={{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}\over {A^2 + B^2}} $$ De ahí que..: $$ \frac{p}{C}={\sqrt{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}\over \sqrt{A^2 + B^2}} $$

Answer 2

Yo lo haría de otra manera: ya que $A$ y $B$ no son ambos cero, podemos dividir por $-\sqrt{A^2+B^2}$ , obteniendo $$ \frac{-A}{\sqrt{A^2+B^2}}x+\frac{-B}{\sqrt{A^2+B^2}}-\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}=0 $$ y podemos elegir $\alpha$ para que $$ \begin{cases} \cos\alpha=-\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\\[6px] \sin\alpha=-\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}} \end{cases} $$ y establecer $$ p=\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}} $$

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Para la fórmula misteriosa, observe que, si $$ k=\frac{\cos\alpha}{-A}=\frac{\sin\alpha}{-B} $$ entonces $$ A^2k^2=\cos^2\alpha,\quad B^2k^2=\sin^2\alpha $$ así también $$ (A^2+B^2)k^2=1 $$ y $$ |k|=\frac{1}{\sqrt{A^2+B^2}} $$ Por supuesto, hay que ser muy precisa sobre la elección de $p$ con este método. Se supone que $p<0$ si $C<0$ y $p>0$ si $C>0$ un caso especial cuando $C=0$ .

El método anterior es independiente de estas consideraciones.

Answer 3

Modifiquemos ${p\over C } = { \cos \alpha\over -A} = { \sin\alpha\over -B} $

a ${p\over C } = { \cos \alpha\over -A} = { \sin\alpha\over -B} =K$

Y ${p\over C } = { \cos \alpha\over -A} = { \sin\alpha\over -B} = {\sqrt{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}\over \sqrt{A^2 + B^2}} = {1\over \sqrt{A^2 + B^2}} \tag{3}$

a $K = {p\over C } = { \cos \alpha\over -A} = { \sin\alpha\over -B} = {K\sqrt{A^2 +B^2}\over \sqrt{A^2 + B^2}}={\sqrt{(-AK)^2 +(-BK)^2}\over \sqrt{A^2 + B^2}}={\sqrt{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}\over \sqrt{A^2 + B^2}} = {1\over \sqrt{A^2 + B^2}} \tag{3}$

Answer 4

Dejemos que $\frac{p}{C}=\frac{\cos\alpha}{A}=\frac{\sin\alpha}{B} = k$

Entonces tenemos,

$\cos\alpha = kA$

En la cuadratura tenemos,

$\cos^2\alpha = k^2A^2$

También $\sin\alpha = kB$

Sobre la cuadratura $\sin^2\alpha = k^2B^2$

Sumando estas dos ecuaciones al cuadrado,

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = k^2A^2 + k^2B^2$

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha= k^2(A^2 + B^2)$

$\frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{(A^2 + B^2)} = k^2$

$\frac{\sqrt{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}}{\sqrt{(A^2 + B^2)}} = k$