Coproducto de celosías que conservan propiedades filtradas de elementos positivos.

Question

Deje $L$ ser completa y totalmente distributiva de la celosía. Un elemento $x\in L$ está muy por encima de $0$, que se denota por a $x\succ 0$, si para todas las $S\subseteq L$ $\bigwedge S =0 $ existe $s\in S$$x\ge s$. Decir que $L$ se filtra si para todas las $x,y\succ 0$ cumplir $x\wedge y$ satisface $x\wedge y \succ 0$.

Estoy buscando una construcción razonable, que actuarían como el subproducto de dos filtrada completa y totalmente distributiva celosías $L_1$$L_2$, es decir, un filtrado completa y totalmente distributiva de celosía $W$ en el que tanto $L_1$ $L_2$ embed y de tal manera que los elementos muy por encima de $0$ están estrechamente relacionados con el bien por encima de $0$ elementos de cada una de las $L_1$ $L_2$. La pregunta puede ser más concretos mediante la descripción de los morfismos para obtener una categoría, pero en este punto no quiero cometer ninguna opción de morfismos. Tan largo como el de la construcción es razonable, yo estoy feliz.

Answer 1

¿Qué pasa si el co-producto es simplemente el producto ? De esa manera, si usted tiene un entramado $K$ y un entramado $L$, $K \coprod L$ es de los pares de $(k,l)$ con los respectivos unirse y cumple. Incluir$k$$(k,0)$$l$%#%. Si usted tiene $(0,l)$$f:K \to X$, $g:L\to X$ es una función que hacen que el subproducto diagrama conmuta. \begin{gather} \theta ( k,0 ) = f(k) \vee g(0) = f(k) \vee 0 = f(k)\\ \theta ( 0,l ) = f(0) \vee g(l) = 0 \vee g(l) = g(l)\\ \end{reunir}

Si $\theta: K \coprod L \to X: (k,l) \mapsto f(k) \vee g(l)$ es otro de los morfismos $\xi$ tal que $K \coprod L \to X$$\xi(k,0) = f(x)$, luego \begin{equation} \xi(k,l) = \xi((k,0)\vee(0,l)) = \xi(k,0) \vee \xi(0,l) = f(k) \vee g(l) = \theta(k,l), \end{equation} por lo $\xi(0,l) = g(k)$ es único.

Usted podría hacer lo mismo construir utilizando el máximo y el encuentro en lugar de la mínima y la combinación, así que realmente no puedo ver una canónico si no fuera por su noción de "bien arriba". En este caso, $\theta$ $0_K$ se asignan a $0_L$ y, obviamente, la noción de "bien arriba" traducir muy bien en el producto.