Aclaración de una prueba en Herrlich

Question

En Herrlich en la página 5 se da una prueba de $\textbf{AC} \implies \textbf{WOT}$:

Él no da una definición de cardinalidad $|X|$ antes de esta prueba y la he buscado en el índice para una definición, pero no podía encontrar. Por lo tanto, ya que estamos en $\textbf{ZF}$ sin $\textbf{C}$ asumo que utiliza la definición: $\alpha = \min \{\beta \mid \exists s \in V_\beta \text{ s.t. } s \text{ is in bijection with } X \}$$|X| = \{ s \in V_\alpha \mid s \text{ is in bijection with } X \} $.

Mi pregunta entonces es la siguiente: ¿por Qué un resort de Hartogs número de la prueba? Se puede demostrar de la siguiente manera: Vamos a $\alpha$ por encima de ser el rango de $X$. Entonces no puede ser una inyección de $V_\alpha$ a $X$. Ahora reemplace $\aleph$ $V_\alpha$ en la prueba anterior. Et voilà, acortamos la prueba por una definición. Lo que me estoy perdiendo? Estoy como siempre muy agradecido por su ayuda. Gracias de antemano.

Answer 1

El uso de $V_\alpha$ no es bueno porque no sabemos si es o no $V_\alpha$ puede ser bien ordenado. De hecho, si $X$ no puede ser bien ordenado y $X\in V_\alpha$, entonces es imposible que $V_\alpha$ puede ser bien ordenado.

Lo Herrlich está haciendo aquí es definir una surjection de $\aleph(X)$ a $X\cup\{\infty\}$ que tiene la propiedad de que el único punto en el rango que tiene más de un punto en su preimagen es $\infty$, lo $X$ tiene un bijection con un ordinal.

Haciendo lo mismo con $V_\alpha$, para empezar no nos permiten concluir que existe un ordinal cuyo rango es exactamente $X$, que es cómo podemos demostrar que $X$ puede ser bien ordenado.