Bijección entre$\mathbb{Z}_+$ y un subconjunto de$\mathbb{Z}_+ \times \mathbb{Z}_+$

Question

Deje que$T=\{(a,b)\mid a,b\in\mathbb Z_+, b\leq a\}.$ encuentre una función biyectiva$f: T \to \mathbb{Z}_+$

He intentado encontrar una función pero no puedo, ¿cómo se ve esa función?

Answer 1

(1):$(1,1)$

(2):$(2,1)\ \ \ (2,2)$

(3):$(3,1)\ \ \ (3,2) \ \ \ (3,3) $

$\ldots$

($k$):$(k,0)\ \ \ (k,1) \ \ \ (k,2)\ \ \ \ldots \ \ (k,d)\ \ \ldots (k,k)$

$\ldots$

define$f$ por$f(1,1)=0$,$f(2,1)=1$,$f(2,2)=2$,$f(3,1)=3$$\ldots$% que es

Tomar $f(k,d)=1+\ldots+(k-1)+(d)-1=k(k-1)/2+d-1$

Answer 2

Mi bijection no ser explícito, pero yo por lo general trato de colocar algún tipo de orden en los decorados y el lugar de ellos "lado a lado".

El conjunto $\mathbb{Z}_+$ ya tiene un orden natural en él.

Podemos ordenar $T$ como sigue. Para cada una de las $n \geq 2$, vamos a $T_n$ contiene todos los pares ordenados de $T$ cuyas coordenadas suma a $n$. El fin de cada una de las $T_n$ lexicográficamente, y luego el fin de $T$ mediante la concatenación de todas estas órdenes.

Con estas órdenes en mente, mi bijection por lo tanto, sería mapa de $n$ $n^\text{th}$ elemento $T$. Las primeras de esas asignaciones son

\begin{align*} 1 &\mapsto (1,1)\\ 2 &\mapsto (2,1)\\ 3 &\mapsto (2,2)\\ 4 &\mapsto (3,1)\\ 5 &\mapsto (3,2)\\ 6 &\mapsto (4,1) \end{align*}

Al elegir el orden en $T$, es importante asegurarse de que cualquier elemento que se alcanza en una cantidad finita de tiempo. Por ejemplo, el orden de $(1,1) < (2,1) < (3,1) < (4, 1) < \cdots$ no es viable, ya que se necesita una cantidad infinita de tiempo para llegar a $(2,2)$.