Estoy intentando enseñarme unos apuntes sobre Campos Locales, de cara a un curso que haré el año que viene. Cubrí algo de teoría algebraica de números hace poco, pero estoy teniendo problemas para entender los apuntes con los que me he estado enseñando por internet; esperaba que alguien pudiera ayudarme a aclarar mis confusiones; tengo unas cuantas y gran parte del material es totalmente nuevo para mí, así que agradezco de antemano su paciencia.
Las notas se encuentran en http://tartarus.org/gareth/maths/notes/iii/Local_Fields_2011.pdf - en particular, la prueba al final de la página 16. La configuración es la siguiente: $\mathfrak{p} \subset \mathcal{O}_K$ primo y $L / K$ una extensión finita con $\mathfrak{p}\mathcal{O}_L = \mathcal{P}_1^{e_1}\ldots\mathcal{P}_r^{e_r},$ cada $\mathcal{P}_i \subset \mathcal{O}_L$ de primera, $f_i = [\mathcal{O}_L/\mathcal{P}_i : \mathcal{O}_K/\mathfrak{p}]$ (el "grado de la clase de residuos"), entonces queremos demostrar que $\sum_{i=1}^r e_i\, f_i = [L:K]$ .
Pregunta 1: ¿Cómo sabemos realmente que $\mathcal{O}_L/\mathcal{P}_i$ es una extensión de $\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}$ ? No tengo intiutivamente un conocimiento de ninguno de los dos, y como $\mathcal{P}_i$ divide $\mathfrak{p}$ en $\mathcal{O}_L$ no es obvio para mí que $\mathcal{O}_L/\mathcal{P}_i$ debe ser "más grande" que $\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}$ y mucho menos una extensión de campo.
La primera mitad de la prueba pretende demostrar que dim $_k (\mathcal{O}_L/\mathfrak{p}\mathcal{O}_L) = [L:K]$ , donde $k = \mathcal{O}_K/\mathfrak{p}$ . Para ello, decimos:
i) Por el Teorema del Resto Chino, $\mathcal{O}_L / \mathfrak{p}\mathcal{O}_L \cong \mathcal{O}_L / \mathcal{P}_1^{e_1} \times \ldots \mathcal{O}_L/\mathcal{P}_r^{e_r}$ . Cualquier $x \in \mathcal{P}_i^a \backslash \mathcal{P}_i^{a+1}$ genera un cociente $\mathcal{P}_i^a / \mathcal{P}_i^{a+1}$ como $\mathcal{O}_L$ -módulo ("utilizando las propiedades de los dominios Dedekind")
Pregunta 2: ¿Cómo sabemos que $\mathcal{P}_i^a \backslash \mathcal{P}_i^{a+1} \neq \phi$ ? Estoy bastante seguro de que esto tiene que ver con el hecho de que $\mathcal{P}_i$ es primo, pero cuando he intentado demostrarlo no he conseguido nada: ¿es esto correcto? Además, ¿es la deducción por "Uso de las propiedades de los dominios Dedekind" especialmente sencilla? Desde luego, para mí no era obvia.
ii) Entonces dim $_{\mathcal{O}_L/\mathcal{P}_i}(\mathcal{P}_i^a/\mathcal{P}_i^{a+1})=1$ como un espacio vectorial (ya que está generado por 1 vector). Entonces dim $_k(\mathcal{P}_i^a/\mathcal{P}_i^{a+1})=f_i$ , y tan tenue $_k(\mathcal{O}_L/\mathcal{P}_i^{e_i})=e_i f_i$ .
Pregunta 3: ¿Cómo hacemos esta deducción final, que ya que dim $_k(\mathcal{P}_i^a/\mathcal{P}_i^{a+1})=f_i$ , dim $_k(\mathcal{O}_L/\mathcal{P}_i^{e_i})=e_i f_i$ ? ¿Estamos utilizando la ley de la torre de alguna manera? No veo cómo se deduce esto.
Estos son todos mis problemas por ahora: siento que esta sea una "pregunta" tan larga, soy consciente de que esto no es lo ideal para la naturaleza de un solo problema de math.stackexchange, pero pensé que sería mucho más eficiente que plantear el mismo problema muchas veces para hacer preguntas similares. Si hay algún libro relevante que puedas sugerir y que sea sencillo y conciso, no dudes en recomendarlo.
