¿Cómo descender dentro del “Árbol de las primitivas tripletas pitagóricas”?

Question

Es bien conocido que el conjunto de todas las ternas Pitagóricas primitivas tiene la estructura de un infinito ternario árbol de raíces.

¿Cuál es el algoritmo exacto (es decir, la fórmula, o, posiblemente, un conjunto de tres fórmulas) por el cual se puede tomar una determinada terna Pitagórica $(a,b,c)$, y encontrar los más pequeños triple en el árbol? Por ejemplo, dada $(165,52,173)$, ¿cómo se obtiene su [único] "antepasado" triple $(77,36,85)$?

Answer 1

Comenzando con$(165,52,173)$, intentamos encontrar el par$p,q$ que genera este triple, es decir,$p^2-q^2=165,2pq=52,p^2+q^2=173$. Claramente, tenemos$2q^2=173-165=8\implies q=2$ y por lo tanto$p=13$.

El antepasado de este triple surge de$(|p-2q|,q)\text{ or }(q,|p-2q|)$, lo que coloca a$p',q'$ en el orden de mayor a menor. En este caso, tenemos$p-2q=9$ y, por lo tanto, el par de antepasados es$(p',q')=(9,2)$ y, por lo tanto, el triple de antepasados es$(p'^2-q'^2,2p'q',p'^2+q'^2)=(77,36,85)$.

Answer 2

Se sabe que existen dos árboles de triples pitagóricos (de Berggren y de Price), por lo que para responder a su pregunta, primero debe identificar de cuál está hablando. Los algoritmos de descenso / ascenso para ambos árboles se presentan en el siguiente documento.

Bernhart, FR & Price, HL Jardín de Pitágoras, revisitado. Aust. Sr. Matemáticas. J. 26, 29-40 (2012). http://files.eric.ed.gov/fulltext/EJ992372.pdf .

Answer 3

Puede utilizar la matriz de transformaciones encontrar aquí:

http://en.wikipedia.org/wiki/Formulas_for_generating_Pythagorean_triples#Pythagorean_triples_by_use_of_matrices_and_linear_transformations

a ascender por el árbol de triples. Para descienden, sólo tiene que utilizar la inversa de las matrices (que parecen similares, excepto para algunos de los signos de ser volteado). Usted puede probar cada inversa en la vuelta, pero, en realidad, sólo necesitas utilizar alguna de las tres matrices inversas. Si no era la correcta (es decir, no la que se utiliza para ascender a la actual triple), obtendrá el antepasado triple de todos modos, sólo algunas de las longitudes serán negativos. Así que acaba de tomar el valor absoluto y listo.

Por ejemplo $$\left(\begin{array}[ccc]11 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 3\end{array}\right)^{-1}.\left(\begin{array}[c]1165\\ 52\\173\end{array}\right) = \left(\begin{array}[ccc]11 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & -2 \\ -2 & -2 & 3\end{array}\right).\left(\begin{array}[c]1165\\ 52\\173\end{array}\right) = \left(\begin{array}[c] 0-77 \\ 36\\85\end{array}\right)$$