Demostrando identidades.

Question

Traté de resolverlo pero no puedo obtener la respuesta. ¿Cómo probar esto usando una mano?

1. PS
2. PS
3. PS

¿Alguien puede ayudar? Gracias.

Answer 1

Consejos

• $(1)$ Usa el hecho de que$\sin^{2}(x) + \cos^{2}(x) =1$.

• $(2)$$\displaystyle\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$

• $(3)$$\displaystyle\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$

Answer 2

Consejos:

1. Escriba cada uno de$\sec^2$ y$\csc^2$ en términos de$\cos$ y$\sin$, luego simplifique su fracción usando una identidad trigonométrica conocida, trate de reconocer una expresión para$\sec^2$ y$\csc^2$ después de haber realizado esos pasos.
2. Intente escribir$\sec$ en términos de$\cos$, luego simplifique las cosas y vea hasta dónde puede llegar.
3. Lo mismo que en (3), escribe$\cot$ en términos de$\cos$ y$\sin$ y simplifica las cosas.

Answer 3

Creo que #1 es una pregunta injusta, porque no hay nada que demostrar. Por si podemos asumir que $$\cos^2\theta+ \sin^2\theta=1$$ $$\tan^2\theta+ 1=\sec^2\theta$$ $$\text{and }\cot^2\theta+ 1=\csc^2\theta$$ Entonces debe ser natural suponer que $$\sec^2\theta+\csc^2\theta=\sec^2\theta\csc^2\theta$$

Considere la posibilidad de un triángulo rectángulo con un ángulo agudo $\theta$. Deje que la hipotenusa ser de longitud $c$, el lado adyacente a $\theta$ ser de longitud $a$, y el lado opuesto al ángulo $\theta$ ser de longitud b.

Por el teorema de Pitágoras tenemos $$\begin{array}{ll}a^2+b^2=c^2&(1)\end{array}$$ Dividiendo (1) por $c^2$ hemos $$\cos^2\theta+ \sin^2\theta=1$$ Dividiendo (1) por $a^2$ hemos $$1+\tan^2\theta = \sec^2\theta$$ Dividiendo (1) por $b^2$ hemos $$\cot^2\theta + 1= \csc^2\theta$$ Multiplicando (1) por $\frac{c^2}{a^2b^2}$ hemos $$\frac{c^2}{b^2}+\frac{c^2}{a^2}=\frac{c^2}{a^2}\cdot\frac{c^2}{b^2}$$ $$\csc^2\theta+\sec^2\theta=\sec^2\theta\csc^2\theta$$