¿Cuándo están los mapas canónicos entre monomorfismos de límites?

Question

Si $\mathbf{D}_1 \hookrightarrow \mathbf{D}_2$ es una inclusión de diagramas en una categoría $\mathbf{C}$, e $\mathbf{C}$$\varprojlim \mathbf{D}_1$$\varprojlim \mathbf{D}_2$, entonces la inclusión induce un canónica mapa de $\varprojlim \mathbf{D}_2 \to \varprojlim \mathbf{D}_1$ de los conos de a $\mathbf{D}_1$.

En $\mathbf{Set}$ (no estoy seguro de si esto es siempre así en otros lugares, incluso en otros toposes), teniendo en $\mathbf{D}_2$ $$\requieren{AMScd} \begin{CD} @. X \\ @. @VfVV \\ Y @>g>> Z\end{CD}$$ and obtaining $\mathbf{D}_1$ by forgetting $Z$ induces a monomorphism $X \times_Z Y \hookrightarrow X \times Y.$

Sin embargo, teniendo en $\mathbf{D}_2$ $X \overset{\operatorname{id}}{\to} X$ $\mathbf{D}_1$ a ser el diagrama vacío induce mapas de las terminales $X \to \mathbf{1}$ por cada $X$, lo cual (al menos en $\mathbf{Set}$) casi nunca monomorphisms.

Volviendo a (completa, digamos) $\mathbf{C}$, ¿cuáles son las condiciones en $\mathbf{C}$, $\mathbf{D}_2$, y $\mathbf{D}_1$ que aseguran $\varprojlim \mathbf{D}_2 \to \varprojlim \mathbf{D}_1$ es un monomorphism?

Answer 1

Deje $F : \mathcal{D}_1 \to \mathcal{D}_2$ ser un functor donde $\mathcal{D}_1$ $\mathcal{D}_2$ son pequeños categorías. Los siguientes son equivalentes:

1. Para cada localmente pequeña categoría $\mathcal{C}$ y cada diagrama de $X : \mathcal{D}_2 \to \mathcal{C}$ si $\varprojlim_{\mathcal{D}_2} X$ $\varprojlim_{\mathcal{D}_1} X F$ existen, entonces la comparación $\varprojlim_{\mathcal{D}_2} X \to \varprojlim_{\mathcal{D}_1} X F$ es un monomorphism.
2. Para cada diagrama de $X : \mathcal{D}_2 \to \mathbf{Set}$, la comparación de $\varprojlim_{\mathcal{D}_2} X \to \varprojlim_{\mathcal{D}_1} X F$ es inyectiva.
3. Para cada objeto $d$$\mathcal{D}_2$, la coma categoría $(F \downarrow d)$ está habitada.

La equivalencia de (1) y (2) es esencialmente un Yoneda-tipo de argumento.

A ver que (1) implica (3), considere el caso donde $\mathcal{C} = [\mathcal{D}_2, \mathbf{Set}]^\mathrm{op}$ $X : \mathcal{D}_2 \to \mathcal{C}$ es el Yoneda incrustación. La hipótesis dice que la comparación de $\varinjlim_{\mathcal{D}_1^\mathrm{op}} \mathcal{D}_2 (F -, d) \to \varinjlim_{\mathcal{D}_2^\mathrm{op}} \mathcal{D}_2 (-, d)$ es surjective para cada objeto $d$$\mathcal{D}_2$; pero $\varinjlim_{\mathcal{D}_2^\mathrm{op}} \mathcal{D}_2 (-, d) \cong 1$, por lo que este dice que no existe un objeto $d'$ $\mathcal{D}_1$ y un morfismos $F d' \to d$$\mathcal{D}_2$.

Que (3) implica (2) es una universalidad argumento (porque $[\mathcal{D}_2, \mathbf{Set}]^\mathrm{op}$ es la categoría libremente generada por un diagrama de la forma $\mathcal{D}_2$), pero también hay una bastante obvia directa argumento.