Integral

Question

Estoy trabajando en la integral impropia:

PS

Esta función no tiene un anti-derivado elemental, así que aquí está lo que hice: definir:

PS

Entonces la diferenciación da:

PS

esto significa que$$\int_0^{\infty}\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}dx$ es constante. Siento que algo está mal aquí porque$$f(t):=\int_0^{\infty}\frac{e^{-xt}-e^{-2xt}}{x}dx,\quad t>0$ debería depender de$$f'(t)=\int_0^{\infty}\frac{-xe^{-xt}+2xe^{-2xt}}{x}dx=\int_0^{\infty}-e^{-xt}+2e^{-2xt}dx=0$. ¿Dónde estoy equivocado y cuál es la manera correcta de hacer esto?

Answer 1

$$ \begin{align} \int_a^b\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}\,\mathrm{d}x &=\int_a^b\frac{e^{-x}}{x}\,\mathrm{d}x-\int_a^b\frac{e^{-2x}}{x}\,\mathrm{d}x\\ &=\int_a^b\frac{e^{-x}}{x}\,\mathrm{d}x-\int_{2a}^{2b}\frac{e^{-x}}{x}\,\mathrm{d}x\\ &=\int_a^{2a}\frac{e^{-x}}{x}\,\mathrm{d}x-\int_b^{2b}\frac{e^{-x}}{x}\,\mathrm{d}x\\[9pt] &\to\log(2)-0 \end {align} $$ como$a\to0$ y$b\to\infty$ desde, para cualquier$c\gt0$, $$ e ^ {- 2c} \ log (2) \ le \ int_c ^ {2c} \ frac {e ^ {- x}} {x} \, \ mathrm {d} x \ le e ^ {- c} \ log (2) $$

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No hay nada especial acerca de$e^{-x}$ aquí. Mientras$\lim\limits_{x\to0}f(x)=v_0$ y$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=v_\infty$, entonces $$ \begin{align} \int_a^b\frac{f(x)-f(\lambda x)}{x}\,\mathrm{d}x &=\int_a^b\frac{f(x)}{x}\,\mathrm{d}x-\int_a^b\frac{f(\lambda x)}{x}\,\mathrm{d}x\\ &=\int_a^b\frac{f(x)}{x}\,\mathrm{d}x-\int_{\lambda a}^{\lambda b}\frac{f(x)}{x}\,\mathrm{d}x\\ &=\int_a^{\lambda a}\frac{f(x)}{x}\,\mathrm{d}x-\int_b^{\lambda b}\frac{f(x)}{x}\,\mathrm{d}x\\[9pt] &\to v_0\log(\lambda)-v_\infty\log(\lambda)\\[6pt] \int_0^\infty\frac{f(x)-f(\lambda x)}{x}\,\mathrm{d}x &=(v_0-v_\infty)\log(\lambda) \end {align} $$