Ceros de polinomio irreducible de dos variables que es reducible en el cierre algebraico

Question

Deje $\mathbb{F}$ ser un campo de característica $0$, $\bar{\mathbb{F}}$ su algebraica de cierre, $p(x,y) \in \mathbb{F}[x,y]$ un polinomio irreducible que es reducible en $\bar{\mathbb{F}}[x,y]$. Mostrar que $p(x,y)$ tiene sólo un número finito de ceros en $\mathbb{F}^2$.

El enfoque propuesto consiste en demostrar algo así como: si $p(x,y)=f(x,y)g(x,y)$, $f, g \in \bar{\mathbb{F}}[x,y]$ y $(a,b) \in \mathbb{F}^2$ es un cero de $p(a,b)=0$,$p(a,b)=f(a,b)=g(a,b)=0$. En otros términos, si $p$ tiene un cero en $\mathbb{F}^2$, entonces este es un punto de intersección de las curvas de $f=0$$g=0$. Tomemos, por ejemplo,$p=x^2+y^2$, que es irreducible en a $\mathbb{R}[x,y]$. A continuación, $x^2+y^2=(x+iy)(x-iy)$ y la única raíz real de $p$ es (0,0), que es el punto de intersección de $(x+iy)$$(x-iy)$.

Cualquier otro enfoque del problema es, obviamente, dio la bienvenida. De todos modos, este problema está diseñado para estudiantes con un buen conocimiento de álgebra y teoría de galois, así que no debería implicar maquinaria pesada, tales como la pesada de la geometría algebraica.

Answer 1

Supongamos que $p(x,y)$ es reducible en $\bar{\mathbb{F}}[x,y]$ y deje $g(x,y)\in \bar{\mathbb{F}}[x,y]$ ser uno de sus factores irreducibles.
Deje $g=g_1,g_2,..., g_n (n\geq 2)$ ser los conjugados de la $g$ en el grupo de Galois $G=\operatorname {Gal(\bar{\mathbb{F}}/\mathbb F)}$.
Desde $g$ divide $p$, así como todos los $g_i$'s: tenemos $$p=g_1\cdot g_2\cdot \ldots\cdot g_n\cdot \ldots\in \bar{\mathbb{F}}[x,y]$$
Ahora si $(a,b)\in \mathbb F^2$ es un cero de $g$, sin duda será un cero de todas las $g_i$'s.
En particular, se pertenecen a la intersección $V(g_1)\cap V(g_2)\subset \bar{\mathbb{F}}^2$ de las curvas de $g_1=0$$g_2=0$.
Pero esa intersección es finito, como todas las intersecciones de dos diferentes irreductible de las curvas algebraicas: Fulton 1.6,la Proposición 2, página 9.

Conclusión
La curva de $p=0$ ha hecho sólo un número finito de ceros de más de $\mathbb F$.

Editar
¿Por qué $g$ sólo tienen muchos conjugados?
Debido a que cada coeficiente de $g$ tiene sólo un número finito de conjugados:
De hecho, dado un elemento $a\in \bar {\mathbb F}$, vamos a $f(X)\in \mathbb F[X]$ ser su polinomio mínimo.
Cada conjugado $\gamma(a)\in \bar{\mathbb F}\; (\gamma\in G=\operatorname {Gal(\bar{\mathbb{F}}/\mathbb F)})$ es un cero de $f(X)$, con lo que el número de conjugados es finito, limitado por el grado de $f(X)$ .
(Esto puede parecer un poco sorprendente, ya $G$ sí va a ser infinito en general).

Nueva Edición
La hipótesis de "$\mathbb F$ tiene de característica cero" asegura que la extensión de $\mathbb F\subset \bar{\mathbb F}$ es de Galois.
Como consecuencia, un elemento de $\bar F$ fijado por el grupo de Galois $G=\operatorname {Gal(\bar{\mathbb{F}}/\mathbb F)}$ debe pertenecer a $\mathbb F$ y lo mismo para los polinomios.
Como consecuencia, cuando escribí $p=g_1\cdot g_2\cdot \ldots\cdot g_n\cdot \ldots\in \bar{\mathbb{F}}[x,y]$, lo cual fue suficiente para concluir, habíamos $p=g_1\cdot g_2 \cdot \ldots \cdot g_n\in \bar{\mathbb{F}}[x,y]$ : los puntos suspensivos "$\cdot \ldots$" es, en realidad inexistente.
De hecho el producto $g_1\cdot g_2\cdot \ldots\cdot g_n$ es invariante bajo $G$ y por lo tanto tiene coeficientes en $\mathbb F$ por lo que acabo de escribir.
Desde que se divide el polinomio irreducible $p \in \mathbb F[x,y]$, debe ser igual a $p$.