Un ejercicio de Silverman

Question

Esto es autoaprendizaje, no deberes.

Problema: Sea $A, B \in \bar{\mathbb{K}}$ . Caracterizar los valores de $A, B$ para las que cada una de las variedades siguientes es singular. En particular, como $(A,B)$ oscila entre $\mathbb{A}^2$ los "valores singulares" se encuentran en un subconjunto unidimensional de $\mathbb{A}^2$ por lo que "la mayoría" de los valores de $(A,B)$ dan una variedad no singular.

( $\mathbb{K}$ es un campo, $\mathbb{A}^2$ es un 2-espacio afín, etc.)

$(a) V: Y^2Z + AXYZ + BYZ^2 = X^3$ . $(b) V: Y^2Z = X^3 + AXZ^2 + BZ^3$ (char $\mathbb{K} \neq 2$ ).

Mi intento:

Tenemos que encontrar $(A,B)$ de modo que los polos que definen estas variedades tienen derivadas (con respecto a cada variable) que tienen raíces en $\mathbb{K}$ es decir, tenemos que resolver los sistemas de ecuaciones

$(a) 2YZ + AXZ + BZ^2 = Y^2 + AXY + 2BYZ = 3 X^2 - AYZ = 0$ $(b) 2YZ = 3X^2 + AZ^2 = 2AXZ + 3BZ^2 - Y^2 = 0$

para $A$ y $B$ .

Silverman da las soluciones $(a) B(A^3 - 27B) = 0$ y $(b) 4A^3 + 27B^2 = 0$ . Probablemente se trate de álgebra de bachillerato vergonzosamente básica, pero no lo veo.

Answer 1

Espero que no te importe que haga (b) y te deje (a) a ti.

$$2YZ=3X^2+AZ^2=2AXZ+3BZ^2-Y^2=0$$

Así que empezamos sólo con la ecuación de la izquierda: $2YZ=0\implies Y=0$ o $Z=0$ .
Tenga en cuenta que $Z=0\implies X=0\implies Y=0$ del resto de las ecuaciones, y esto no puede ocurrir en el espacio proyectivo, así que lo descartamos.

Ahora di $Y=0$ , entonces la ecuación más a la derecha da: $$Z(2AX+3BZ)=0$$ Argumentando como antes, descartamos $Z=0$ Así que $2AX+3BZ=0$ . Suponiendo $A\neq0$ tenemos $$X=\frac{3BZ}{2A},$$ sustituyendo eso en la última y observando que $Z\neq0$ tenemos lo siguiente $$3\left(\frac{3BZ}{2A}\right)^2+AZ^2=0\implies \left(\frac{27B^2}{4A^2}+A\right)Z^2=0$$ De ahí el resultado.

Answer 2

Gracias, ahora está claro. Aquí está la parte (a).

$$2YZ + AXZ + BZ^2 = Y^2 + AXY + 2BYZ = 3X^2 - AYZ = 0$$

Por un razonamiento similar al de (b), si alguno de $X,Y,Z$ es $0$ y los otros dos también. Elijamos $Z = 1$ entonces las dos primeras ecuaciones se convierten en

$$2Y + AX + B = Y(Y + AX + 2B) = 0$$

Pero $Y \neq 0$ Así que $$Y + AX + 2B = 0$$

Por un lado, sumando las dos y utilizando la tercera ecuación, obtenemos algo bonito y sugerente:

$$2AX = -3(B + Y) \\ 3X^2 = AY \implies \frac{27}{4A^2}(B + Y)^2 = AY$$

que da la cuadrática

$$ Y^2 + (2B - \frac{4A^3}{27})Y + B^2 = 0$$

En cambio, restando los dos, se produce un milagro:

$$ 2Y + AX + B - (Y + AX + 2B) = Y - B = 0 \implies Y = B$$

Así que parece que la escala $Z = 1$ equivalía a escalar $Y = B$ . Juntándolos, $$B^2 + (2B - \frac{4A^3}{27})B + B^2 = 4B^2 - \frac{4A^3}{27}B = 0 $$ o $$B(A^3 - 27B) = 0$$