Valor de $\int_{- \infty}^0 \frac{\mathrm dx}{(49+x) \sqrt{x}}$?

Question

He estado tratando de encontrar esta integral:$$\int_{- \infty}^0 \frac{\mathrm dx}{(49+x) \sqrt{x}}$$

He utilizado un trigonométricas sustitución, y después de algo de trabajo llegó a esta:

$$\arctan\left(\frac{\sqrt{x}}{7}\right)$$

Así que si está escrita correctamente, se vería como:

$$\lim_{k \to -\infty} \arctan\left.\left(\frac{\sqrt{x}}{7}\right) \right|^{\,0}_{\,k}$$

La evaluación de cero no era un problema, sin embargo tomando el límite. ¿Cómo puede k enfoque infinito negativo si va a aparecer en una raíz cuadrada?

Wolfram Alpha me dijo esta integral no convergen. Otra calculadora en línea me dijo que era cero. La persona que le dio este problema lo dijo convergente.

Alguna idea? Gracias por tu entrada!

Answer 1

Esta integral no converge como una de Riemann o la integral de Lebesgue.

Sin embargo, la integral no existe en el Valor Principal de Cauchysentido: $$\newcommand{\PV}{\mathrm{PV}} \begin{align} \PV\int_{-\infty}^0\frac{\mathrm{d}x}{(49+x)\sqrt{x}} &=-2i\,\PV\int_0^\infty\frac{\mathrm{d}x}{49-x^2}\tag{1}\\ &=\frac{i}7\,\PV\int_0^\infty\left(\frac1{x-7}-\frac1{x+7}\right)\,\mathrm{d}x\tag{2}\\ &=\lim_{L\to\infty}\frac{i}7\,\PV\int_0^L\left(\frac1{x-7}-\frac1{x+7}\right)\,\mathrm{d}x\tag{3}\\ &=\lim_{L\to\infty}\left(\frac{i}7\,\PV\int_{-7}^{L-7}\frac1x\,\mathrm{d}x\right)-\lim_{L\to\infty}\left(\frac{i}7\int_7^{L+7}\frac1x\,\mathrm{d}x\right)\tag{4}\\ &=\lim_{L\to\infty}\left(\frac{i}7\,\PV\int_{-7}^7\frac1x\,\mathrm{d}x\right)-\lim_{L\to\infty}\left(\frac{i}7\int_{L-7}^{L+7}\frac1x\,\mathrm{d}x\right)\tag{5}\\[9pt] &=0\tag{6} \end{align} $$ Explicación:
$(1)$: sustituto $x\mapsto-x^2$
$(2)$: fracciones parciales
$(3)$: escribir incorrecto integral como límite de
$(4)$: sustituto $x\mapsto x+7$ a la izquierda y $x\mapsto x-7$ a la derecha
$(5)$: reste la integral en $[7,L-7]$ tanto de los límites de
$(6)$: evaluar las integrales

Answer 2

Cambié el extremo de la integración, de modo que me puse $$-\int_0^t \frac{1}{(x+49) \sqrt{x}} \, dx=-\frac{2}{7} \lim_{t\to \infty } \, \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{t}}{7}\right)=-\frac{\pi }{7}$$