¿Cómo se puede demostrar que no existe un $3 \times 3$ matriz $\Bbb{Q}$ como$A^8=I$$A^4 \ne I$?

Question

Estoy un poco atascado con el siguiente problema:

Demostrar que no existe un $3 \times 3$ matriz $\Bbb{Q}$ como$A^8=I$$A^4 \ne I$.

Ya he probado algunas cosas y consiguió que si $A^8=I$,$(A^4)^2=I$.

Y supongo que un razonamiento similar podría trabajar para esta. Apuesto a que me estoy perdiendo algo obvio, pero no puedo encontrar lo se :(

Answer 1

Sugerencia: El polinomio mínimo de Un divide $(x^8−1)=(x^4−1)(x^4+1)$, e $(x^4+1)$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$