Si $L | K$ es una extensión separable y $\sigma : L \rightarrow \bar K$ varía en las diferentes $K$-incrustaciones de $L$ en una clausura algebraica $\bar K$$K$, luego cómo probar que $$f_x(t) = \Pi (t - \sigma(x))?$$ $f_x(t)$ is the characteristic polynomial of the linear transformation $T_x:L \rightarrow L$ where $T_x(a)=xa$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Primero asuma $L = K(x)$. Por el Cayley-Hamilton, Teorema de, $f_x(x) = 0$, lo $f_x$ es un múltiplo de la polinomio mínimo de a$x$$\prod_\sigma (t-\sigma(x))$. Ya que ambos polinomios son monic y tienen el mismo grado, que de hecho son iguales.
Para el caso general, elegir una base $b_1,\ldots,b_r$$L$$K(x)$. Entonces, como $K$-espacios vectoriales, $L = \bigoplus_{i=1}^r K(x)b_i$, e $T_x$ actúa en directo sumandos por separado. Por lo tanto, el polinomio característico de a $T_x: L \to L$ es el producto de los polinomios característicos de la restricción de mapas de $T_x: K(x)b_i \to K(x)b_i$. Todas las restricciones mapas tienen el mismo polinomio característico, a saber, el polinomio mínimo $g$$x$. Así que el polinomio característico de a$T_x: L\to L$$g^{[L:K(x)]}$. Ya que cada incrustación $\tilde\sigma: K(x) \to \overline K$ puede ser extendida a una incrustación $\sigma: L \to \overline K$ exactamente $[L:K(x)]$ formas, esto es igual a $\prod_\sigma (t-\sigma(x))$.
