Demostrar una desigualdad similar a la desigualdad de Jensen

Question

Probar que $$\mathbb{E}(\sqrt{X})\leq\sqrt{\mathbb{E}Y}$$ donde las variables aleatorias $X,Y>0$ y $\mathbb{E}\left[\frac{X}{Y}\right]\leq1.$

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Mi intento: Esto se parece mucho a la desigualdad de Jensen.

Según Jensen, $\mathbb{E}(\sqrt{X})\leq\sqrt{\mathbb{E}X},$ entonces la desigualdad deseada es verdadera si podemos probar $\mathbb{E}X\leq\mathbb{E}Y.$ Pero parece imposible demostrar esto porque $X$ e $Y$ no son independientes.

¡Cualquier ayuda será apreciada!

Answer 1

La desigualdad de Cauchy-Schwarz es la siguiente: $$\mathbb{E}[\sqrt{X}]=\mathbb{E}\left[\sqrt{Y}\cdot\sqrt{\frac{X}{Y}}\right]\leq\sqrt{\mathbb{E}[Y]\cdot\mathbb{E}\left[\frac{X}{Y}\right]}\leq\sqrt{\mathbb{E}[Y]}.$$