Converso del Teorema del Resto Chino

Question

Es el recíproco del Teorema del Resto Chino verdad? Es decir, si $$(m, n)\neq1,$$ entonces $$\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}\ncong\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.$$

Gracias.

Answer 1

Sí. La suma directa no tiene ningún elemento de orden $mn$.

Answer 2

SUGERENCIA $\rm\ \ \mathbb Z/m\: \oplus\: \mathbb Z/n\ $ ha característicos $\rm\:lcm(m,n),\:$ $\rm\: < m\ n\ $ si $\rm\:\gcd(m,n) > 1\:.$