Semianillo con estructura isomorfa aditiva y multiplicativa

Question

¿Existe un semianillo $(R,+,\cdot)$ (como un anillo, pero no debe haber inversos aditivos y el $0$ es multiplicativamente absorbente por axioma) con estructuras isomorfas aditivas y multiplicativas? Esto significa que debe haber un isomorfismo monoide

$$\varphi:(R,+)\longleftrightarrow(R,\cdot).$$

Lo primero que noté es que debe haber un elemento absorbente para la adición, llamémoslo $\omega=\varphi^{-1}(0)$ . Siguen muchos más elementos "extraños", por ejemplo $\varphi^{-1}(\omega)$ etc. Como la suma y la multiplicación son tan similares, la multiplicación es automáticamente conmutativa y tiene un elemento de identidad $1$ . Pero esto es esencialmente hasta donde llegué.

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Si la respuesta a la pregunta anterior es "Sí", entonces sería muy interesante ver si también $\Bbb N$ puede extenderse a dicho semianillo.

Obsérvese que cualquier número natural $n$ puede representarse como una suma de dos números naturales en exactamente $\lceil (n+1)/2\rceil$ formas. Así que para cualquier $n\in\Bbb N$ hay a lo sumo dos números naturales que pueden representarse exactamente en $n$ diferentes formas como suma de otros dos números naturales. Pero hay infinitos números que se pueden escribir como producto de dos números naturales exactamente $n$ formas. Esto significa que esta extensión de $\Bbb N$ debe contener muchos elementos adicionales.

Answer 1

He aquí un ejemplo: $\left(\left[0,1\right],\max,\min\right)$ , es decir, el semirremolque max-min.

Answer 2

Con "debe ser no", ¿se refiere a que está realmente prohibido o simplemente no es necesario? Si está prohibido, entonces hay un problema con el 0.

Estaba trabajando en algunos ejemplos sencillos pero Guy se me adelantó en uno de ellos.

El semianillo trivial con un elemento parecería calificar.

Al igual que el ejemplo de dos elementos de Guy, ambas operaciones pueden ser min. En este caso 0 es tanto la identidad aditiva como la multiplicativa.