De la integral definida con $\mathrm{Si}$ en integrando

Question

Hace la función

$$f(t) = \int_0^{\sqrt{3}} (x^2-1) \;\mathrm{Si}((x^2-1)\,t)\; \mathrm{d}x$$

para tener una representación en términos de funciones elementales de $t$ real, positivo $t$? Aquí, $\mathrm{Si}(x)$ es la integral del seno:

$$\mathrm{Si}(x) = \int_0^x \frac{\sin(u)}{u} \mathrm{d}u = \int_0^1 \frac{\sin(u x)}{u} \mathrm{d}u.$$

He intentado varias transformaciones de variables e integral de las representaciones de la integral del seno seguido intercambiando el orden de integración (ver, por ejemplo, http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/SinIntegral/). Esto no funcionó (pero podría ser limitado por mi fecha capacidades matemáticas). Un razonablemente rápida convergencia de potencia de la serie representación también lo hará.

Gracias!

Answer 1

Aquí es un comienzo, usando integración por partes con $u=\mathrm{Si}((x^2-1)\,t)$, tenemos

$$f(t) = \int_0^{\sqrt{3}} (x^2-1) \;\mathrm{Si}((x^2-1)\,t)\; \mathrm{d}x= -\frac{2}{3}\,\int _{0}^{\sqrt {3}}\!{\frac { \left( {x}^{2}-3 \right) {x}^{2} \sin \left( \left( {x}^{2}-1 \right) t \right) }{{x}^{2}-1}}{dx} $$

$$ = -\frac{2}{3}\,\int _{0}^{\sqrt {3}}\!{ { {x}^{2} \sin\left(\left( {x}^{2}-1 \right) t \right) }}{dx}+\frac{4}{3}\,\int _{0}^{\sqrt {3}}\!{ { \frac{{x}^{2}}{x^2-1} \sin\left(\left( {x}^{2}-1 \right) t \right) }}{dx} = \dots. $$

Agregado: Para la primera integral, arce fue capaz de dar la respuesta

$$-\frac{2}{3}\,\int _{0}^{\sqrt {3}}\!{ { {x}^{2} \sin\left(\left( {x}^{2}- 1 \right) t \right)}}{dx}=\frac{2\sqrt {3}}{3}\,{\frac{\left( \cos\left(t\right)\right)^{2}}{t}} -\frac{\sqrt {3}}{3}\,{\frac {1 }{t}}$$ $$-\frac{1}{\sqrt{3}}\,{\frac {\cos \left(t\right)\, {_1F_2(\frac{1}{4};\,\frac{1}{2},\frac{5}{4};\,-\frac{9}{4}\,{t}^{2})}}{t}}$$ $$-\frac{1}{\sqrt{3}}\,\sin\left(t \right)\, {_1F_2(\frac{3}{4};\,\frac{3}{2},\frac{7}{4};\,-\frac{9}{4}\,{t}^{2})} ,$$

donde $_1F_2$ es la función hipergeométrica.

Nota: he prestado atención a los de Olsen sugerencia después de haber publicado mi respuesta. Yo ya upvoted.