¿Cómo puede el $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[y(u(x))\right] = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$?

Question

Acabo de ver un vídeo en el que la regla de la cadena, y señaló que

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[y(u(x))\right] = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$$

Yo no entiendo; si dejo $y(x) = x^2$ $u(x) = \sqrt x$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2x$$

y

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[y(u(x))\right] = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[x\right] = 1$$

Claramente, estoy completamente malentendido algo. ¿Qué es?

EDIT: a mi entender, ahora que $y(u(x)) = (\sqrt x)^2 = x$. Es esto un error?

Answer 1

Pero es no$y(x)$, es $y(u(x))$.

Por lo tanto, si $y(v) = v^2$ y $u(x) = \sqrt{x}$, entonces $y(u(x)) =y(\sqrt{x}) =(\sqrt{x})^2 =x $.

Si aplicamos la regla de la cadena, a continuación, desde $y'(v) = 2v$, $(y(u(x))' =y'(u(x))u'(x) =2u(x) (\sqrt{x})' =2\sqrt{x} (\frac12 x^{-{1/2}}) =1 $.

Por el camino, la prueba en el video es incompleta. No considera la posibilidad de que $u'(x) = 0$. Hardy clásico "Un Curso de Matemática Pura" tiene una discusión de este en la página 217 (artículo 114) en el 10ª edición. Él dice que esto es un error común.

Answer 2

Im que va a utilizar la siguiente notación, con la esperanza de que va a ser más claro para usted.

$\frac{d}{dx}(f(x)) = f'(x)$. Utilizando esta notación la regla de la cadena dice que

$\frac{d}{dx}[y(u(x))]=[y(u(x))]'=u'(x)[y'(u(x))]=\frac{du}{dx}(x)\frac{dy}{dx}(u(x))$

He utilizado para traducir este símbolo patrón de inglés de la siguiente manera, dada una función de composición $y(u(x))$, yo llame a $y(x)$ "el afuera" y $u(x)$ "dentro" de la función. Entonces, la derivada de una función de composición $y(u(x))$ es la derivada de la "dentro" de la función ($u'(x)$) veces la derivada de la "afuera" de la función, $evaluated$ en el "interior" de la función ($y'(u(x))$). Espero te sirva de ayuda!

Answer 3

Su confusión es la lectura de la abreviatura de $\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}$ $\frac{\mathrm d y(x)}{\mathrm d x}$ en lugar de $\frac{\mathrm d y(u(x))}{\mathrm d x}$ como debe.

$$\begin{align} u(x) & \mathop{:=} \surd x \\ y(u) & \mathop{:=} u^2 \\ \therefore y(u(x)) & = y(\surd x) \\ & = (\surd x)^2 \\ & = x \end{align}$$

La variable dependiente $y$ se define como una función de la variable dependiente $u$, la cual es definida como una función de la independiente de la variable $x$. Por lo tanto $y$ es una composición de la función cuando se expresa con respecto a $x$.

Se ha de entenderse que cuando nos diferenciar la variable dependiente $y$ con respecto al $x$ estamos diferenciando esta composición.

Para mayor claridad, vamos a usar letras diferentes para las variables dependientes y las funciones que están definidas. A continuación, tenemos una variable independiente $x$, y las variables dependientes $u$ $y$ se definen como funciones de $f$$g$, de tal manera que $y=f(u)$$u=g(x)$. A la hora de diferenciar $y$ con respecto al $x$ aplicamos la regla de la cadena para la composición de $f$ $g$ (que es $f\circ g).$

$\begin{align} u & \mathop{:=}g(x) \\[1ex] y & \mathop{:=} f(u) \\[1ex] & = [f\circ g](x) \\[3ex] \therefore \dfrac{\mathrm d y}{\mathrm d x} & = \dfrac{\mathrm d [f\circ g](x)}{\mathrm d x} \\[1ex] & = \dfrac{\mathrm d f(g(x))}{\mathrm d g(x)} \cdot \dfrac{\mathrm d g(x)}{\mathrm d x} \\[1ex] & = \frac{\mathrm d y}{\mathrm d u}\frac{\mathrm d u}{\mathrm d x} \\[2ex] & = \frac{\mathrm d u^2}{\mathrm d u}\frac{\mathrm d \surd x}{\mathrm d x} \\[1ex] & = 2u\cdot\frac {1}{2\surd x} \\[1ex] & = \frac{2\surd x}{2\surd x} \\[1ex] & = 1 \end{align}$