¿Por qué se define el $\mathfrak{p}$-ádico logaritmo en una $\mathfrak{p}$-ádico campo de número tal que $\log(p) = 0$?

Question

Supongamos que tenemos una extensión finita $K / \mathbb{Q}_p$ con valoración anillo de $\mathcal{O}$ y la máxima ideal $\mathfrak{p}$.

Se puede definir el $\mathfrak{p}$-ádico logaritmo en el grupo de las principales unidades de $U^{(1)}$ de los locales de campo $K$ usando el poder de expansión de la serie $$\log(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \ldots.$$

Uno puede extender la definición de un mapa de $\log\colon K^\ast \rightarrow K$ la satisfacción de las propiedades de $\log(xy) = \log(x) + \log(y)$$\log(p) = 0$.

Mi pregunta es, ¿para qué queremos a $\log(p) = 0$?

Con la habitual logaritmo $\mathbb{R}$, el núcleo de $\log$$\{1\}$, y no veo una analogía donde $p$ podría corresponder a algo en $\mathbb{R}$. Entonces, ¿qué hace esta elección particular de $\log(p)$ deseable, sobre, por ejemplo, alguna otra opción como $\log(p) = e$ donde $(p) = \mathfrak{p}^e$?

Answer 1

El objetivo principal es construir una función continua $log_p: \mathbf C_p ^* \to \mathbf C_p$ s.t. $log_p (xy) = log_p + log_p (y)$. Desde $ \mathbf C_p ^* = p^\mathbf Q \times W \times U_1$ donde $U_1$ es el grupo de unidades principales y $W$ el grupo de raíces de $1$ de primer orden a $p$, es suficiente para definir $log_p$ en cada uno de los factores. En $U_1$ uno ya tiene la costumbre de potencia de la serie $log_p (1+x)$ cuyo radio de convergencia es $1$. En $W$, uno debe tener la nulidad de $log_p$, ya que para cualquier raíz de la unidad $w$ orden $n$, necesariamente,$n.log_p (w)= log_p (1) = 0$. Sólo queda ajustar el valor de $log_p (p)$.

La elección no es arbitraria, ya que cualquier $\sigma \in G_\mathbf {Q_p} $puede ser extendido a un continuo automorphism de $\mathbf C_p$, y de ello se sigue que $log_p (p) \in \mathbf Q_p$. Su opción sugerida $log_p (p)=e$ no es bueno, ya sea porque depende del ambiente de campo $K$. En realidad, la mayoría de la ramificación de los problemas en el CFT se concentran en $U_1$, así como la mayoría de los cálculos acerca de la $L_p$-funciones , por lo que la duda más natural (que es también el más simple) elección es $log_p (p)=0$. De ello se desprende que Ker $log_p = p^\mathbf Q \times \mu$ donde $\mu$ es el grupo de todas las raíces de la unidad (de orden arbitrario).