la imagen de $1$ por un homomorphism entre unitario de los anillos

Question

deje $R$ $S$ ser unitario anillos y $\phi:R\rightarrow S$ un anillo homomorphism. es la respuesta correcta:

$\phi(1_R\cdot1_R)=\phi(1_R)\cdot\phi(1_R)$ $\phi(1_R)(1_S-\phi(1_R))=0_S$ $\phi(1_R)$ podría ser cualquier cosa en $S$ al $S$ general es un anillo, me refiero a que no podemos concluir lo que los valores de $\phi(1_R)$ podría tomar en $S$ . Pero cuando $S$ es una parte integral de dominio, entonces podemos decir que tenemos $\phi(1_R)=0_S$ o $1_S-\phi(1_R)=0_S$ i.e, $\phi(1_R)=1_S$. Por otra parte al $\phi$ es un monomorphism a continuación, ya que sólo $0_R$ mapas a$0_S$, entonces necesariamente $\phi(1_R)=1_S$.

Answer 1

Como usted bien demostrado, es verdad cuando $S$ es una parte integral de dominio.

Otro hecho es que si el homomorphism es surjective, a continuación, $\phi(1_R)$ es la identidad en $S$, independientemente de lo $S$ es igual. Para probarlo simplemente verificar que es lo que hace a cualquier otro elemento de $S$.

También es cierto: si $R$ $S$ son no triviales de los anillos, $S$ tiene una identidad $1_S$, $\phi$ es inyectiva y $1_S$ $\phi(R)$ $R$ tiene una identidad y $\phi(1_R)=1_S$.