Invariantes en un segundo orden de la ecuación

Question

Para$Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0$, ¿por qué son $\begin{vmatrix} A &B \\ B &C \end{vmatrix}$ and $\begin{vmatrix} A & B & D\\ B & C & E\\ D & E & F \end{vmatrix}$ invariante bajo una transformación ortogonal?

Yo estaba considerando simplemente convencer a mí mismo de su auto-evidencia por medio de mirar la mecánica de las posibles transformaciones, pero el hecho de que 2 de los invariantes son expresables en forma determinante que hace que parezca como si hay una forma mucho más elegante esquema de debajo.

¿Qué es el "libro" a prueba de su invariancia (si no es una elegante con un más allá de la mecánica), y cómo se demostró que ellos (y $A+C$) son sólo posibles invariantes para un segundo orden de la ecuación (para transformaciones ortogonales)?

La respuesta a la siguiente será probablemente implícita en la principal respuesta, pero ¿cómo sería esta prueba será extensible en un $n$-ordenó ecuación?

Answer 1

El homogéneas de segundo orden de la forma $$Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dxz + 2Eyz + Fz^2=0$$ Se puede escribir como la ecuación de matriz $$\left[\begin{array}{c}x & y & z\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}A & B & D \\ B & C & E\\ D & E & F\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right] = 0.$$

Ortogonal transformaciones de $(x,y,z)$ (de los cuales dos dimensiones ortogonales transformaciones de sólo $x$ $y$ son un caso especial) deben, como mínimo, preservar los coeficientes del polinomio característico de la matriz, que son la similitud de los invariantes. Por lo tanto, el determinante, el rastro, y la suma de principal de los menores de edad deben ser invariantes bajo transformaciones ortogonales. Grado $n$ ecuaciones debe tener al menos $n$ invariantes, por la misma razón.

No podría ser más constantes; no sé de mano como para demostrar que ellos son los únicos. Por ejemplo, su permisible transformaciones son sólo aquellos de la forma $\left[\begin{array}{cc}R &\\& 1\end{array}\right]$ $R$ dos dimensiones ortogonales de la matriz; por lo tanto, el determinante y la traza de la parte superior izquierda de 2x2 matriz también son invariantes.