"$SU(2)$ es de dos valores de la representación de $SO(3)$" es una extraña frase no es totalmente claro qué se entiende por "dos valores" o "representación". Un posible significado, como se sugiere en los comentarios, es simplemente que $SU(2)$ es una doble cubierta de $SO(3)$. Pero sospecho que hay algo ligeramente diferente es decir.
$SU(2)$ tiene una canónica de representación unitaria $\pi$$\mathbb{C}^2$: es decir, la vista de un elemento de $SU(2)$ como un operador unitario en $\mathbb{C}^2$. Como es bien sabido, esto no descender a una representación ordinaria de $SO(3)$. Uno podría tratar de definir $\pi' \colon SO(3) \to U(\mathbb{C}^2)$ $\pi'(g) = \pi(g')$ donde $g'$ es un ascensor de $g$ $SU(2)$a lo largo de la doble cubierta de la $SU(2) \to SO(3)$, pero el problema es que no hay manera de elegir un levante $g'$ de todos los $g$ de tal manera que $\pi'$ se convierte en un homomorphism. Sin embargo, hay sólo dos opciones para un ascensor de cualquier $g$ y sólo se diferencian por un signo menos; así, mientras que es imposible hacer $\pi'$ real homomorphism, es un homomorphism a firmar:
$$\pi'(g_1 g_2) = \pm \pi'(g_1)\pi'(g_2)$$
Por lo tanto los físicos a veces como para pensar en la representación canónica de $SU(2)$ (que por cierto es el giro de la representación) como "dos valorado" la representación de $SO(3)$. Esto puede ser conveniente si sólo se preocupan por cosas como la posición y el momentum de una partícula que sólo dependen de la magnitud de la función de onda - y no se trata de cosas como la fase de centrifugado.
Los matemáticos tienen su propia manera de hacer sentido de esta. Recordemos que el proyectiva general lineal de un espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$ se define a ser $GL(V)/F^\times$ donde $F^\times$ es el grupo multiplicativo de a $F - 0$. Uno define una representación proyectiva de un grupo de $G$ $V$ a ser un homomorphism $G \to PGL(V)$. Si $V$ tiene un Euclidiana / Hermitian estructura (en el real / complejo caso), también se puede hablar de proyectiva ortogonal / unitario representaciones; estos son homomorphisms en el grupo unitario de $V$ modulo el grupo de la unidad del campo de tierra. Con estas definiciones, la discusión anterior implica que la representación canónica de $SU(2)$ es de hecho un proyectiva ortogonal representación de $SO(3)$ (ya que el grupo de la unidad de $\mathbb{R}$ es sólo $\{\pm 1\}$).
Así que, en conclusión, me interpretar la frase "$SU(2)$ es de dos valores de la representación de $SO(3)$" para significar "la representación canónica de $SU(2)$ es una representación proyectiva de $SO(3)$".
