Sé que hay un teorema de la descomposición para finitos abelian grupos. ¿Hay algún conocido teorema de la descomposición de la permutación de grupos? Aquí descomposición significa cualquier permutación de grupo puede ser escrito como un producto directo de grupos más pequeños.
Respuesta
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La respuesta es no, al menos por $n \geq 5$.
Supongamos que hubo una descomposición $S_n = H \times K$ ni $H$ o $K$ trivial. A continuación, se deduce que el $H$ $K$ son isomorfos a la normalidad subgrupos de $S_n$ debido a que son los núcleos de los homomorphisms $H \times K \to K$$H \times K \to H$.
Que no puede ser isomorfo grupos $H=K$, ya que implicaría $|S_n|=|H|^2$, sin embargo, la mayor prime $p$ menos de $n$ siempre divide $n!$ sólo una vez.
Por último, la no-trivial normal subgrupos de $S_n$ son bien conocidos. Para $n \geq 5$, sólo hay una no-trivial normal subgrupo de $S_n$ e es $A_n$. Ver Wikipedia. Por lo tanto, dos subgrupos normales es imposible.
