Estoy mirando la estructura de $D^3/N$ donde $D=\mathbb{Z}[i]$ $N$ es generado $(1,3,6)$, $(2+3i,-3i,12-18i)$, y $(2-3i,6+9i,-18i)$. Aparentemente $D^3/N$ es finito de orden $352512$, pero no veo cómo.
Tomé la relación de la matriz de $N$, y el reducido como $$ \begin{bmatrix} 1 & 3 & 6 \\ 2+3i & -3i & 12-18i \\ 2-3i & 6+9i & -18i \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -6+6i & -12-36i \\ 0 & 18i & -12 \end{bmatrix}. $$ Buscando en la $2\times 2$ menor, $$ \begin{bmatrix} -6+6i & -12-36i \\ 18i & -12 \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} -6+6i & 0 \\ 18i & -24+66i \end{bmatrix} $$ pero restando $(-2+4i)$ los tiempos de la primera columna de la segunda columna. No veo una manera de reducir a una forma normal.
Sé que $\mathbb{Z}[i]$ es un director ideal de dominio, por lo $D^3/N$ sería isomorfo a la suma directa de los coeficientes de la cíclico módulos generados por los factores invariantes. Pero si el invariante factores son elementos de $\mathbb{Z}[i]$, realmente no sé cuántos elementos hay en $\mathbb{Z}[i]/(a+bi)$. ¿Cómo puedo llegar a la conclusión deseada? Gracias.
Aquí está mi cálculo. $$ \begin{bmatrix} 1 & 3 & 6 \\ 2+3i & -3i & 12-18i \\ 2-3i & 6+9i & -18i \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 3 & 6 \\ 4 & 6+6i & 12-36i \\ 2-3i & 6+9i & -18i \end{bmatrix}. $$ mediante la adición de la tercera fila a la segunda. Entonces $$ \begin{bmatrix} 1 & 3 & 6 \\ 0 & -6+6i & -12-36i \\ 2-3i & 6+9i & -18i \end{bmatrix}. $$ restando $4$ veces la primera fila de la segunda. Entonces $$ \begin{bmatrix} 1 & 3 & 6 \\ 0 & -6+6i & -12-36i \\ 0 & 18i & -12 \end{bmatrix} $$ restando $2-3i$ veces la primera fila de la tercera. Yo, a continuación, desactive la primera fila restando $3$ $6$ los tiempos de la primera columna de los demás.
