Producto de Sidón conjuntos

Question

Deje $G$ ser un compacto grupo abelian con dual $\Gamma$. Deje $\Lambda \subset \Gamma$ un Sidón (ver el libro de Rudin: Análisis de Fourier en Grupos para la definición).

Consideremos el conjunto a $\Lambda\times\Lambda$.

Es un Sidón conjunto de $\Gamma\times \Gamma$?

Answer 1

Supongo que un conjunto de Sidón en $\Gamma$ es un conjunto $S$ con la propiedad de que los pares sumas $x+y$,$x,y\in S$, son todos distintos modulo conmutatividad $x+y=y+x$. En este caso, es irrelevante que el $\Gamma$ es el doble de $G$; es sólo importante que $\Gamma$ es un grupo abelian.

En general, si $\Gamma,\Gamma'$ son abelian grupos y $S\subset \Gamma$ $S'\subset \Gamma'$ son subconjuntos con más de un elemento de cada uno, a continuación, $S\times S'$ no es nunca un Sidón subconjunto de $\Gamma\times\Gamma'$: la elección de $s_1\ne s_2$$S$$s_1'\ne s_2'$$S'$, tenemos la condena coincidencia $$ (s_1,s_1') + (s_2,s_2') = (s_1,s_2') + (s_2,s_1') $$ de pares sumas. En particular, $\Lambda\times\Lambda$ no es un conjunto de Sidón en $\Gamma\times\Gamma$.