Qué $\sum_{n=1}^{\infty}(\sin{n})^n$ convergen?

Question

Como en el anterior, no $\sum_{n=1}^{\infty}(\sin{n})^n$ convergen? Y si es así, a qué valor.

De cálculo de sumas parciales, que parece que podría, pero no estoy muy seguro de cómo proceder a partir de ahí.

Answer 1

En Khinchin pequeño libro sobre fracciones continuas el siguiente teorema (Teorema 24) debido a Chebyshev es dada: Para un irracional $\alpha$ y cualquier $\beta$ existen infinitos pares de números enteros $x>0,y$ tal que $|\alpha x-y-\beta|<\frac{3}{x}$.

Podemos aplicar esto para $\alpha=2\pi,\beta=-\frac{\pi}{2}$, y para cualquier solución de $x,y$ tenemos $$|1-\sin y|=|\sin(\alpha x-\beta)-\sin y|\leq|\alpha x-\beta-y|<\frac{3}{y}$$ (usamos la desigualdad $|\sin a-\sin b|\leq|a-b|$, lo que sigue a partir de la $|\sin'x|\leq 1$ y el valor medio teorema), por lo que $\sin y\geq 1-\frac{3}{y}$, $(\sin y)^y\geq\left(1-\frac{3}{y}\right)^y\to e^{-3}>0$ como $y\to\infty$. Por lo tanto, $(\sin n)^n$ no converge a cero y la serie no puede converger.