Si un mapa de conjuntos de $f:A\to B$ es surjective entonces es un epimorphism. Es posible demostrar esto sin el Axioma de Elección? Sé que en el fin de demostrar que surjective mapas tienen derecho inversas, necesitamos de la AC, pero la declaración es más débil (epimorphisms no tiene derecho inversos), y supongo que es razonable preguntar si pueden debilitar nuestra hipótesis. Mis intentos hasta ahora han fracasado.
Esta pregunta no es acerca de la categoría de conjuntos, sino más bien acerca de cualquier categoría en la que podemos hablar de surjections, así que, supongo que esto se aplica a cualquier tipo de categoría.
Aquí es un boceto de una prueba que utiliza el Axioma de Elección:
Supongamos $f\colon A\to B$ es surjective. Entonces para cualquier $b\in B$ podemos encontrar (Axioma de Elección) $a\in A$ tal que $f(a)=b$. Ahora, tomar cualquiera de los dos mapas de $\alpha_1,\alpha_2\colon B\to C$ a un conjunto arbitrario $C$, de tal manera que $\alpha_1\circ f=\alpha_2\circ f$ y escoger un elemento $b\in B$. Tenemos $\alpha_1(b)=\alpha_1(f(a))=(\alpha_1\circ f)(a)=(\alpha_2\circ f)(a)=\alpha_2(f(a))=\alpha_2(b)$.
